Đề thi học sinh giỏi lớp 7 môn: Toán năm học: 2013 - 2014 Trường Thcs Tân Long

PHÒNG GD- ĐT NGÃ NĂM
TRƯỜNG THCS TÂN LONG
 ***
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 
Môn : Toán
Năm học : 2013 - 2014
Thời gian: 120 phút ( Không kể phát đề )
ĐIỂM
LỜI PHÊ
Bài 1: Thực hiện phép tính (5 điểm).
a. ;	
b. ;	
c. .
Bài 2: (5 điểm)
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;
b. Tìm x, biết: 3 = 
Bài 3: (5 điểm) a. Cho tỉ lệ thức . 
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). 
b.Tìm x, y, z biết: và x + z = 2y.
Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cân.
Hết
PHÒNG GD- ĐT NGÃ NĂM
TRƯỜNG THCS TÂN LONG
 ***
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Môn : Toán
Năm học : 2013 - 2014
Thời gian: 120 phút ( Không kể phát đề )
Câu
Đáp án và biểu điểm
Điểm
1
a. 
 = 
b. 
 = 
c. = 
 = 
0,75đ
0,75đ
0,75đ
0,75đ
1đ
1đ
2
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
 2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16
 -12x – 20 = 16
 -12x = 16 + 20 = 36
 x = 36 : (-12) = -3
b. Tìm x, biết: 3 = 
- Nếu . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)
 3 = 
 : (2x – 1) = 
 2x – 1 =: = 
 2x = + 1 = 
 x = : 2 = > 
 - Nếu . Ta có: 
 3 = 
 : (1 - 2x) = 
 -2x = - 1 = 
 x = : (-2) = 
Vậy x = hoặc x = 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3
a. Cho tỉ lệ thức 
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) 
Ta có : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
 ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
 cb = ad suy ra: 
b. Tìm x, y, z biết : và x + z = 2y
 Từ x + z = 2y ta có:
 x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0
 hay 2x – y = 3y – 2z
Vậy nếu: thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 ¹ 15).
Từ 2x – y = 0 suy ra: x = 
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. Þ x + z + y – 2z = 0 hay + y – z = 0
hay - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z.
Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = z; y = z ; với z Î R }
hoặc {x = y; y Î R; z = y} hoặc {x Î R; y = 2x; z = 3x}
1đ
1đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
4
A
B
D
M
N
K
C
H
a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: DABK và DDCK có:
BK = CK (gt)
 (đối đỉnh)
AK = DK (gt)
Þ DABK = DDCK (c-g-c)
Þ ; mà Þ
Þ Þ AB // CD (AB ^ AC và CD ^ AC).
b. Chứng minh rằng: rABH = rCDH
Xét 2 tam giác vuông: rABH và rCDH có:
BA = CD (do DABK = DDCK)
AH = CH (gt)
Þ rABH = rCDH (c-g-c)
c.Chứng minh: HMN cân.
Xét 2 tam giác vuông: rABC và rCDA có:
AB = CD; ; AC cạnh chung: Þ rABC = rCDA (c-g-c)
Þ 
mà: AH = CH (gt) và (vì DABH = DCDH)
Þ DAMH = DCNH (g-c-g)
Þ MH = NH. Vậy DHMN cân tại H
0,5đ
1đ
1đ
1đ
1đ
0,5đ
.
Hết