Đề thi học sinh giỏi lớp 6 năm học 2013-2014 môn thi: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,5 điểm). 
1) Tính giá trị của các biểu thức sau:
	a) .
	b) . 
2) Tìm x, biết: 
Câu 2: (4,5 điểm).
1) Tìm , biết: .
Tìm các chữ số x, y sao cho 
Tìm các số nguyên a, b biết rằng: 
Câu 3: (4,0 điểm).
Tìm số tự nhiên n để (n +3)(n + 1) là số nguyên tố.
Cho Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b.
Tìm phân số tối giản lớn nhất sao cho khi chia mỗi phân số cho ta được kết quả là số tự nhiên.
Câu 4: (5,0 điểm).
Trên tia Ox lấy hai điểm M và N, sao cho OM = 3cm và ON = 7cm.
Tính độ dài đoạn thẳng MN.
Lấy điểm P trên tia Ox, sao cho MP = 2cm. Tính độ dài đoạn thẳng OP.
c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN.
2) Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó.
Câu 5: (2,0 điểm).
Cho tổng gồm 2014 số hạng: Chứng minh rằng: 
Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng: n +S(n) = 2014, trong đó S(n) là tổng các chữ số của n.
Hết.
 Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................
 Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:..............................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH GIỎI
 MÔN: TOÁN LỚP 6
NĂM HỌC: 2013 – 2014.
Câu
Nội dung cần đạt
Điểm
1
(4,5đ)
1) a) (1,5đ)
1,0 đ
0,5 đ
b) (1,5đ)
1,5 đ
 2) (1,5đ)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2
(4,5 đ)
 1) (1,5đ)
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2) (1,5đ)
Do nên . Vậy (x; y) = (3; 2), (7; 4)
0,75 đ
0,75 đ
3) (1,5đ)
Do nên 2a – 7 Ư(14) = 
Vì 2a – 7 lẻ nên 2a – 7 
Từ đó tính được: (a; b) = (0; -3), (3; -15), (4; 13), (7; 1)
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
3
(4,0 đ)
1) (1,0đ).
Để (n +3)(n + 1) là số nguyên tố thì một trong hai thừa số n + 3 hoặc n + 1 phải bằng 1.
Mà n + 3 > n + 1 . Suy ra n + 1 = 1 . Khi đó n + 3 = 3 là số nguyên tố.
Vậy n = 0 thì (n + 3)(n + 1) là số nguyên tố
0, 25 đ
0, 5 đ
0,25 đ
2) (1,5đ). Ta có: n = 
 (vì a + b < 19).
Mà a – b = 6 nên a + b > 3. Do đó a + b = 12.
Kết hợp với a – b = 6, suy ra a = 9, b = 3.
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
3) (1,5đ). Ta có: và 
Tương tự: và 
Để là số lớn nhất thì a = ƯCLN(14; 16) = 2
Và b = BCNN(75; 165) = 825.
Vậy 
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
4
(5,0 đ)
1) (1,5đ).
a) Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm giữa hai điểm O và N
Vậy MN = 4(cm)
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
b) (1,5đ).
TH1: Nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P
 OP = OM + MP OP = 3 + 2 = 5(cm).
TH2: Nếu Nếu P nằm giữa O và M OM = OP + PM
 3 = OP + 2 OP = 1(cm).
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
c) (1,0 đ). M nằm giữa O và P OP = 5(cm) < ON = 7(cm) nên P nằm giữa O và N 
suy ra OP + PN = ON 5 + PN = 7 PN = 2(cm)
Do đó: MP = PN, mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
2) (1,0 đ).
Cách 1: Với n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Nối các điểm với nhau cho ta đoạn thẳng. 
Chọn một đoạn thẳng trong đoạn thẳng này và từng n – 2 điểm còn lại, ta được n – 2 tam giác. Có đoạn thẳng nên có tam giác. Tuy nhiên mỗi tam giác được tính ba lần( Chẳng hạn: ). 
Do đó số tam giác được tạo thành là: .
Áp dụng với n = 2014 thì số tam giác được tạo thành là: 
Cách 2: Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn, đỉnh B có (n -1) cách chọn, đỉnh C có (n -2) cách chọn. Như vậy có:
n(n – 1)(n – 2) tam giác. Nhưng mỗi tam giác được tính 6 lần ( ).
Do đó số tam giác có được là: 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
5
(2,0 đ)
1) (1,5đ). Ta có . 
Suy ra: 
 Đặt M = 
Ta có: 
Do đó: 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2) (1,5 đ). Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì và S(n) 
Suy ra: n + S(n) 999 + 27 = 1026 < 2014( không thỏa mãn ).
Mặt khác n nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số có 4 chữ số, suy ra S(n) 9.4 = 36. Do vậy n 2014 – 36 = 1978.
Vì 1978 n 2014 nên n = hoặc n = 
* Nếu n = . Ta có: + (1 + 9 + a + b) = 2014
và 11a = 104 – 2b 104 – 2.9 = 86 , mà nên a = 8
 (thỏa mãn).
* Nếu n = . Ta có: + (2 + 0 + c + d) = 2014
Và 11c 12, nên c = 0 hoặc c = 1.
+ Với c = 0 thì d = 6, ta có n = 2006 (thỏa mãn)
+ Với c = 1 thì 2d =1 ( không thỏa mãn).
Vậy n 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ