Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT cấp tỉnh Quảng Nam năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
 Môn thi	: TOÁN
 Thời gian	: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
 Ngày thi	: 02/10/2015
Câu 1 (4,0 điểm).
	a) Giải phương trình: .
	b) Giải hệ phương trình: 
Câu 2 (3,0 điểm).
	a) Cho dãy số (un) xác định bởi: 
	Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
	b) Cho dãy số (xn) xác định bởi: 
	Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3 (3,0 điểm). 
	a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau ?
.	b) Cho đồ thị và đường thẳng d: y = x + m (m là tham số). Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tích hệ số góc của hai tiếp tuyến với (C) tại hai điểm đó là một số không đổi.
Câu 4 (4,0 điểm).
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R).
	a) Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên BC, CA, AB. Gọi p1 là nửa chu vi tam giác A1B1C1 và S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng: S = R.p1.
	b) M là điểm di động trên cạnh BC (M khác B và M khác C), đường trung trực của đoạn thẳng MB cắt đường thẳng AB tại E, đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt đường thẳng AC tại F. Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC sao cho diện tích tam giác OEF nhỏ nhất.
Câu 5 (3,0 điểm).
	Cho hình vuông ABCD, M là điểm di động trên đường thẳng AB (M khác A và M khác B). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MC và AD, N là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng MC, I là giao điểm của hai đường thẳng AN và BE. Chứng minh ba điểm M, I, D thẳng hàng.
Câu 6 (3,0 điểm).
	Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn .
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
------------- Hết -------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(4.0)
a) Giải phương trình: (1)
2.0
Đặt , t ³ 0
PT (1) trở thành: t2 + t – 6 = 0.
	 Û t = –3 (loại) hoặc t = 2 (thỏa t ³ 0). 
+ Với t = 2 thì: .
	 Û x = –1 hoặc x = 4.
Ghi chú: Điều kiện t ≥ 0 thay cho điều kiện x ≤ 0 hoặc x ≥ 3	(0.5)
0.5
0.5
0.25
0.5
0.25
b) Giải hệ phương trình  Ký hiệu hệ phương trình đã cho là (I) 
2.0
+ (x ; y) = (0 ; 0) là một nghiệm của (I).
+ Mọi cặp số (x ; 0) và (0 ; y) với x¹0, y¹0 đều không phải là nghiệm của (I).
+ Trường hợp x ¹ 0, y ¹ 0:
Đặt (b ≠ 0), hệ trên trở thành: (II) 
Giải hệ (II) được: (a ; b) = (3 ; –1) và (a ; b) = (–7 ; 4)
+ Với (a ; b) = (3 ; –1) thì: 
+ Với (a ; b) = (–7 ; 4) thì: 
* Một cách giải khác:
+ y = 0 Þ x = 0	(0.25)
+ Trường hợp y ¹ 0:
Biến đổi được: 	(1.0)
Û (3)	(0.25)
Thay (3) vào (2), khai triển và rút gọn được: 4x2 + 3x – 1 = 0.	(0.25)
	Û x = –1 hoặc x = 1/4	(0.25)
	x = –1 Þ y = 1/4	(0.25)
	x = 1/4 Þ y = –4/29	(0.25)
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 2
(3.0)
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).
1.5
Ta có: un+1 – 3n = 4[un – 3(n – 1)], "n ≥1 (1).
Xét dãy số (vn), với vn = un – 3(n – 1), "n ≥1.
Từ (1) ta có: vn+1 = 4vn , "n ≥1.
Suy ra (vn) là cấp số nhân có công bội q = 4 và số hạng đầu v1 = 2.
Þ 
Vậy số hạng tổng quát của (un) là un = 22n–1 + 3n – 3.
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
b) Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm limxn.
1.5
* Chứng minh (xn) tăng, tức là chứng minh: xn+1 > xn, "n ≥1.
Ta có .
Giả sử xk+1 > xk (k ≥ 1), ta có: 
Vậy: xn+1 > xn, "n ≥1.
* Chứng minh xn < 3, "n ≥1.
. Giả sử xk < 3 (k ≥ 1).
Ta có: . Vậy xn < 3, "n ≥1.
Vì (xn) tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn hữu hạn.
Đặt limxn = a ().
Theo công thức xác định dãy số (xn), ta có:
 (vì ). Vậy limxn = 3.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 3
(3.0)
a) Từ các chữ số ...
1.0
Số hoán vị 5 chữ số lẻ 1, 1, 1, 3, 5 là .
Ứng với mỗi hoán vị có 6 vị trí đầu, cuối và xen kẽ giữa 2 chữ số lẻ. Do đó có cách sắp xếp ba chữ số chẵn 2, 4, 6 vào 3 trong 6 vị trí đó để được số thỏa đề bài.
Vậy số các số thỏa đề bài là: 
Ghi chú: Học sinh giải bằng phương pháp phần bù, Giám khảo phân điểm thành 3 bước (số bị trừ: 0.5; số trừ: 0.25, hiệu: 0.25).
0.5
0.25
0.25
b) Tìm m 
2.0
* Tìm m d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt (1.0)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: 
 (1) (vì x = 1 không phải là nghiệm phương trình trên)
D = (m + 1)2 + 4(m + 1) 
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt Û phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
	 Û D > 0 Û m – 1 (*)
* Chứng minh tích các hệ số góc của hai tiếp tuyến không đổi (1.0)
Với điều kiện (*), d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M(x1 ; y1), N(x2 ; y2), trong đó x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1).
Theo định lý Viet: x1 + x2 = –(m + 1), x1x2 = –(m + 1).
Gọi D1, D2 lần lượt là tiếp tuyến của (C) tại M, N.
Hệ số góc của D1, D2 lần lượt là: .
 (x1 – 1)(x2 – 1) = x1x2 – (x1 + x2) + 1 = 1 
Vậy: .
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 4
(4.0)
a) Chứng minh ...
2.0
Chứng minh: OA ^ B1C1.	(1.25)
Dựng tiếp tuyến At của (O).
Ta có: 
 (vì tứ giác BCB1C1 nội tiếp)
Þ 
Þ B1C1 // At Þ OA ^ B1C1 (vì OA ^ At) 
Tương tự: OB ^ C1A1, OC ^ A1B1.
* Cách 2: Chứng minh: OA ^ B1C1. Ta có: 	(0.5)
 	(0.5)
Þ Þ OA ^ B1C1.	(0.25)
* Cách 3: Ta có: AB1 = AB.cosA, AC1 = AC.cosA Þ 	(0.5)
Mặt khác hai tam giác ABC và AB1C1 có góc A chung nên chúng đồng dạng.
Þ B1C1 = BC.cosA. Tương tự: C1A1 = CA.cosB, A1B1 = AB.cosC. 	(0.5)
Þ 2p1 = B1C1 + C1A1 + A1B1 = BC.cosA + CA.cosB + AB.cosC.	(0.25)
Ta có: . Tương tự cho .	(0.5)
	(0.25)
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
b) Xác định vị trí điểm M
2.0
Gọi N là điểm đối xứng với M qua EF, D là giao điểm của AA1 và MN.
Vì EB = EM = EN nên DBMN nội tiếp trong đường tròn, gọi là đường tròn (E).
Ta có: 
Þ A, B, D, N cùng thuộc một đường tròn.
Tương tự A, C, D, N cùng thuộc một đường tròn.
Þ N thuộc (O).
Gọi (F) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN.
NB là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (E) nên NB ^ OE.
NC là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (F) nên NC ^ OF.
Gọi E1, F1 lần lượt là trung điểm của AB, AC, ta có: OE1^AB, OF1^AC.
Þ OE ³ OE1, OF ³ OF1.
Đặt . Vì O, E1, F1 cố định, a không đổi nên diện tích DOE1F1 không đổi
Ta có: và (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc).
Mà nên: Þ 
Diện tích tam giác OEF: .
Vậy khi M trùng A1 thì diện tích tam giác OEF nhỏ nhất.
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 5
(3.0)
Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng 1.
Chọn hệ tọa độ Oxy, với A trùng O, B thuộc tia Ox, D thuộc tia Oy.
Ta có: A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1), D(0 ; 1).
Gọi (m ; 0) là tọa độ điểm M (m ¹ 0, m ¹ 1).
Phương trình MC: x + (m – 1)y – m = 0.
Phương trình AN: (m – 1)x – y = 0.
Ta có 
Phương trình BE: mx + (m – 1)y – m = 0.
Tìm được 
Phương trình MI: x + my – m = 0 (hoặc tính đúng tọa độ các vectơ )
Þ D thuộc MI. Vậy ba điểm M, I, D thẳng hàng.
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 6
(3.0)
Ta có .
Mặt khác a, b, c ³ 1 nên 5 £ a + b + c + 2 £ 8.
Ta CM: (1).	 
 (2)
Vì a ³ 1, b ³ 1 nên (2) đúng . Do đó (1) đúng. Đẳng thức xảy ra Û a = b.
Áp dụng (1), ta có: 
Þ 
Lại có: 
Þ 
Đặt t = a + b + c + 2, 5 £ t £ 8, ta có: 
Xét hàm số , với t Î [5 ; 8]
 Þ f(t) nghịch biến trên đoạn [5 ; 8].
Þ Þ 
. Vậy GTNN của P là , khi .
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
 Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm.