Đề thi học sinh giỏi khối 9 năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán

 PHềNG GD&ĐT NGA SƠN ĐỀ THI HS GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016
TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP Ngày 24 thỏng 10 năm 2015
ĐỀ CHÍNH THỨC
 Mụn thi : TOÁN
 Thời gian làm bài:150 phỳt (khụng kể thời gian phỏt đề).
Bài 1: (4,5 điểm)
 Cho biểu thức: 
 a) Tìm điều Kiện xác định của P
b) Rỳt gọn P
 c) Tỡm x để 
Bài 2: (4,5 điểm)
 a) Giải phương trỡnh: x2 + 6x + 10 = 2
 	b) Cho x, y là cỏc số thoả món: 
	Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: 
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Với a, b > 0 chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào?
 b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả món: 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của 
Bài 4: (5,0 điểm)
 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú AC > BD; kẻ CH vuụng gúc với AD (HẻAD); kẻ CK vuụng gúc với AB (KẻAB). 
Chứng minh đồng dạng .
Chứng minh đồng dạng , suy ra HK = AC.sinBAD
Chứng minh AB.AK + AD.AH = AC2 
Bài 5: (2,0 điểm)
 Cho vuụng tại A và điểm M nằm trờn cạnh huyền BC. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của M lờn cỏc cạnh AB và AC. Chứng minh rằng:
-------------------------Hết-------------------------
Lưu ý : Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
LIấN TRƯỜNG THCS NGA THIỆN-NGA GIÁP
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học : 2015 – 2016
 Mụn : TOÁN. ngày: 24/10/2015
(Chỳ ý: Hướng dẫn chấm này gồm cú 03 trang).
Bài 1: (4,5 điểm)
 a) Tìm được ĐKXĐ (0,5 điểm)
 b) Với , ta cú:
(0,75 điểm)
 (0,5 điểm)
 (0,5 điểm)
 Vậy Với thì (0,25 điểm) 
 c) Với , ta cú: 
 (0,50 điểm) 
 (0,50 điểm) 
 (TMĐK) (0,50 điểm)
 Vậy với thỡ (0,25 điểm)
Bài 2: (4,5 điểm)
Giải phương trỡnh: x2 + 6x + 10 = 2
Điều kiện (0,25 điểm)
Ta cú: x2 + 6x + 10 = 
 (1,25 điểm)
 (0,75 điểm)
 b) Cho x, y là cỏc số thoả món: (*)
	Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức: 
 Từ 
 (1) (0,75 điểm) 
Tương tự ta cú: (2) (0,75 điểm) 
Lấy (1) cộng với (2) ta cú : y = x
 Suy ra 
 Vậy A = 1 (0,75 điểm) 
Bài 3: (4,0 điểm) 
a) Với a, b > 0 chứng minh: . Dấu “=” xảy ra khi nào?
 Với a, b > 0 ta cú: (a – b)2 0 a2 + b2 2ab( a + b )2 4ab (0,75 điểm) 
 (0,75 điểm) 
 . Dấu “ = ” xảy raa = b. (0,50 điểm)
 b) Cho x, y, z là 3 số dương thoả món: 
Tỡm giỏ trị lớn nhất của 
Vỡ x, y, z là cỏc số dương, ỏp dụng bất đẳng thức ở cõu a) ta cú : (1) 
 (0,50 điểm) 
(2) 
 (0,50 điểm) 
(3) 
 (0,50 điểm)
Từ(1); (2); (3) suy ra 
 ( vỡ ) Dấu “=” xảy ra x = y = z = 
 Vậy (0,50 điểm)
Bài 4: (5,0 điểm) Vẽ hỡnh đỳng: (0,25 điểm)
a) Chứng minh được ∆KBC∆HDC (g.g) (1,25 điểm)
b) Chứng minh được ∆HCK∆ABC (c.g.c) (1,25 điểm)
Từ ∆HCK ∆ABC ị = 
 ị KH = AC. = AC.sinKBC. (0,50 điểm)
 Mà KBC = BAD (2 gúc đồng vị) ị KH = AC.sinBAD. (0,50 điểm)
c) Kẻ BMAC tại M (hoặc DNAC tại N ) như hỡnh vẽ. Ta cú:
 ∆ABM∆ACK (g.g) và ∆CMB∆AHC (g.g)
ị AB.AK = AM.AC và BC.AH = AC.MC = AD.AH (Vỡ AD = BC)
ị AB.AK + AD.AH = AC(AM + MC) (0,75 điểm)
ị AB.AK + AD.AH = AC.AC = AC (0,50 điểm) 
Bài 5: (2,0 điểm) 
 Ta cú AB.MH + AC.MK = 2SABC . (0,50 điểm)
 . 
Đặt S = ; S1 = ; S2 = 
Áp dụng bất đẳng thức Cụ Si cho hai số dương ta cú: 
 (0,50 điểm) 
 Do đú:
 (Vỡ AB.AC = 2S)
 Vậy: (0,75 điểm) 
 B Vẽ hỡnh đỳng (0,25 điểm) 
 H M
 A K C
 */ Ghi chỳ: - Học sinh làm cỏch khỏc đỏp ỏn, nhưng đỳng vẫn cho điểm tối đa.
 - Điểm toàn bài khụng làm trũn.