Đề thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2007 - 2008 môn: Toán

Đề thi học sinh giỏi huyện lớp 9 năm học 2007-2008
Môn: Toán
(Thời gian làm bài: 120 phút)
-------------------------------------------------------------------------------------------
Câu 1: (3 điểm)
 Cho P = 
 a/ Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P.
 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
 c/ Tìm giá trị nguyên của biểu thức Q = 
Câu 2: (2 điểm)
 Giải các phương trình:
 a/ 
 b/ 
Câu 3: (2 điểm)
 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
 a/ Chứng minh rằng: Nếu a + b + c = 2 thì a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.
 b/ Chứng minh: (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) abc.
Câu 4: (2 điểm)
 Cho ABC, M là trung điểm của BC, tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở E, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở D.
 a/ Chứng minh AED và ABC đồng dạng.
 b/ Tính ME2 + MD2 biết MC = 8cm, .
Câu 5: (1 điểm)
 Cho các số thực dương a và b thoả mãn:
 a100+ b100 = a101+ b101 = a102+ b102
 Hãy tìm giá trị của biểu thức: P = a2007+ b2007
Phòng GD & ĐT Yên Thành.
hướng dẫn chấm toán 9 
Câu 1 (3 đ)
a
ĐKXĐ: x > 0 , x≠ 1
0,25
P = 
0,5
P = x- 
0,25
b
P = ()2 + ≥ 
0,5
Min P = khi x = 
0,5
c
Q = 
0,25
Với x > 0 và x ≠ 1. áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương ta có:
M = 
0,5
Do đó Q
0,25
Câu 2 (2đ)
a
0,5
0,5
b
ĐK: x ≥ 2
0,25
0,25
0,25
 x = 2 (Thoả mãn ĐK)
0,25
Câu 3 (2đ)
a
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và a + b + c = 2 nên:
a < 1, b < 1, c < 1
0,25
(1- a)(1- b)(1- c) > 0
0,25
 ab + bc + ca - abc > 1
 (a + b + c)2 – (a2 + b2 + c2 + 2abc) > 2
 a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
0,5
b
Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:
= (1) 
0,5
Tương tự:
 (2)
 (3)
0,25
Nhân từng vế của (1) (2) (3) ta có đpcm
0,25
Câu 4 (2đ)
a
Vì MD là phân giác của AMC nên:
 (1)
Vì ME là phân giác của AMB nên:
 (2)
0,5
Do MB = MC nên từ (1) và (2) ta có: 
ED // BC 
0,5
b
0,25
ED = 
0,5
EMD vuông tại M ME2 + MD2 = ED2 = 100 (cm)
0,25
Câu 5 (1đ)
a102 + b102 = ( a101 + b101)( a + b) – ab(a100+ b100)
0,5
Từ gt và đẳng thức trên suy ra:
1 = a + b – ab hay (a -1)( b -1) = 0
0,25
( a ; b) = ( 1 ; 1)
 P = 2
0,25