Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2015 - 2016 môn Toán lớp 6

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU
ĐỀ CHÍNH THỨC
TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG
ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn toán lớp 6
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 (2điểm) 
a). Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)
b). Tính tổng: A = 
Câu 2 (2điểm) Cho biểu thức: M = 5 + 52 + 53 +  + 580 . Chứng tỏ rằng: 
a). M chia hết cho 6.
b). M không phải là số chính phương.
Câu 3 (2 điểm) 
a). Chứng tỏ rằng: là phân số tối giản.
b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên.
Câu 4 (1 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.
Câu 5 (2điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho 
a). Tính và 
b). Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao?
c). Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt.
Câu 6 (1điểm) Chứng minh rằng : +++...+< 1
--------------- HẾT -----------------
ĐÁP ÁN
Câu 1 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)
a). 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)
= 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99 
= 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7 
= 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94)
= 16 +27.100 - 7. 100
= 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016
b). A = 
Ta có 
Tương tự: ; ......; 
Þ A = = 
Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)
a). Ta có: M = 5 + 52 + 53 +  + 580 
= 5 + 52 + 53 +  + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) +... + (579 + 580) 
= (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + ... + 578(5 + 52) 
= 30 + 30.52 + 30.54 + ... + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + ... + 578) 30
b). Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 +  + 580 chia hết cho số nguyên tố 5.
Mặt khác, do: 52+ 53 +  + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52)
Þ M = 5 + 52 + 53 +  + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52)
Þ M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52
Þ M không phải là số chính phương.
(Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2).
Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)
a). Chứng tỏ rằng: là phân số tối giản.
Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d Î N
Þ n + 3 d và 2n + 5 d
Þ (n + 3) - (2n + 5) d Þ 2(n + 3) - (2n + 5) d Û 1 d Þ d = 1 Î N
Þ ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1 
Þ ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 Þ là phân số tối giản.
b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên.
Ta có: = = 2 - 
Để B có giá trị nguyên thì nguyên. 
Mà nguyên 1 (n +3) hay n +3 là ước của 1. 
Do Ư(1) = {±1}; Ta tìm được n = {-4 ; - 2}
Câu 4 Giải:
Gọi số phải tìm là x.
Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6. 
Þ x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6
Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n . 
Do đó x = 60.n – 2 ; (n = 1; 2; 3..)
Mặt khác x11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3. Ta thấy n = 7 thì x = 418 11
Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.
Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm. Còn lại mỗi ý 0,5 điểm) 
a). (300 < 700)
Þ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz
Þ = 700 - 300 = 400
 (700 < 1100)
Þ Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot
 Þ = 1100 - 700 = 400
b). (300 < 1100)
z
x
O
y
t
300
Þ Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot
Þ = 1100 - 300 = 800
Theo trên, = 400
Þ < (400 < 800)
Þ Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot
c). Theo trên:
Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có:
 = 400; = 400
Þ Oz là tia phân giác của góc yOt.
Câu 6 Chứng minh rằng : +++...+< 1
Ta có <=-
 <=-
 ...
 <=- 
Þ ++...+ <-+-+ ...+- = 1- <1 
Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.