Đề thi học sinh giỏi cấp trường năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán – lớp 12 – Trường THPT Lý Thái Tổ

 SỞ GD & ĐT BẮC NINH
 TRƯỜNG THPT LÝ THÁI TỔ
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
 NĂM HỌC 2014 – 2015
 Môn thi: Toán – Lớp 12 – THPT
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
 Ngày thi: 14 tháng 09 năm 2014 
Câu 1 (5.0 điểm) 
1. Cho hàm số: với m là tham số. Chứng minh rằng, với mọi m khác 0 đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt A, B. Xác định m để đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại C, D sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 lần diện tích tam giác OCD.
2. Cho hàm số: với a là tham số. Chứng minh rằng, đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi 
Câu 2 (5.0 điểm)
1. Giải phương trình: 
2. Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (3.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình lần lượt là: và tam giác đều ABC có diện tích bằng và trực tâm I thuộc Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ giao điểm của và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm I có hoành độ dương.
Câu 4 (2.0 điểm) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, góc tạo bởi đường cao SH của hình chóp và mặt bên bằng Tìm để thể tích khối chóp S.ABCD là lớn nhất biết a cố định, thay đổi.
Câu 5 (3.5 điểm) 
1. Tính 
2. Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.
Câu 6 (1.5 điểm) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn: và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
-------------------------- Hết --------------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.................................................. Số báo danh:....................................