Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Yên Định (Có đáp án)

Phòng giáo dục và đào tạo yên định
đề thi chính thức
 kỳ thi học sinh giỏi cấp trường 
năm học 2015 - 2016
Môn: toán – khối 7
Thời gian làm bài: 120 phút 
(Khụng kể thời gian giao đề)
đề BàI
Bài 1. (4 điểm): Tớnh giỏ trị của biểu thức (Bằng cỏch hợp lớ):
a) A = 
b) B = 
Bài 2. (4 điểm): 
a) Tỡm x, y biết:	 0
b) Chứng minh rằng đa thức P(x) = x2 + x - 2017 khụng thể cú nghiệm nguyờn.
Bài 3. (4 điểm):
a) Cho x, y, z là cỏc số hữu tỉ khỏc 0, sao cho: 
Tớnh giỏ trị biểu thức: 
b) Tỡm một số chớnh phương cú ba chữ số biết rằng nú chia hết cho 56. 
Bài 4. (6 điểm):
 Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Trờn cạnh BC lấy điểm D, trờn tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD. Cỏc đường thẳng vuụng gúc với BC kẻ từ D cắt AB tại M và kẻ từ E cắt AC tại N.
 a) Chứng minh rằng: BM = CN.
 b) Gọi I là giao điểm của MN với BC, đường thẳng vuụng gúc với MN tại I cắt đường thẳng AH tại K (H là trung điểm của BC). Chứng minh tam giỏc KMN cõn.
 c) Chứng minh rằng: CK AN. 
Bài 5. (2 điểm): Tìm các sụ́ tự nhiờn a, b biờ́t rằng:
 Hết.
 Họ và tờn thớ sinh::........................................... SBD........................................
 Giỏm thị 1:.......................................... Giỏm thị 2:..............................................
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Cõu
Đỏp ỏn
Biểu điểm
1
A = 
Vậy A = 1
b) B = 
 = =
 = ==
Vậy B = 
2,0 điểm
2,0 điểm
2
a. Ta cú 0 với mọi x, 
 0 với mọi y
do đú 0 với mọi x , y.
Theo đề bài thỡ 0
Suy ra = 0
Vậy 3x - 8 =0 và 5y + 1 = 0
 x = và y = 
b) Giả sử đa thức cú nghiệm nguyờn là x = n. Khi đú :
n2 + n - 2017 = 0
nờn n2 + n = 2017 Û n(n + 1) = 2017 (*)
do n và n + 1 là hai số nguyờn liờn tiếp nờn n(n + 1) 
Do đú (*) khụng thể xảy ra, vỡ 2017 
Chứng tỏ phương trỡnh đó cho khụng cú nghiệm nguyờn. 
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
3
Giả sử x+y+z = 0. Suy ra x + y = - z; y + z = - x; z + x = - y
Suy ra 
Khi , ỏp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 
Rỳt ra: x + y = 2z; y + z=2x; z + x = 2y. Từ đú tớnh được:
0,25 điểm
0,25 điểm
1,0 điểm
0,5 điểm
b) Gọi số chớnh phương đú là : với 1 ≤ x ≤ 9 ; 0 ≤ y ; z ≤ 9 
ta cú : 
do đú : k2 = 56.l = 4. 14l suy ra : l = 14h2 (1) với h ẻ N
mặt khỏc 100 ≤ 56l ≤ 999 ị 2 ≤ l ≤ 17 (2)
từ (1) và (2) suy ra: h = 1. do đú l = 14 
nờn số chớnh phương phải tỡm là: 784
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
4
A
M
B
E
K
D
H
C
N
.
.
.
.
.
.
.
.
I
a) Ta cú ABC = ACB (Vỡ tam giỏc ABC cõn tại A)
 MàACB = ECN ( đối đỉnh)
Suy ra ABC = ECN hay MBD = ECN
Xột BDM và CEN cú:
 MBD = ECN; BD = CE (GT) ; BDM = CEN = 900
Suy ra BDM = CEN (c- g – c). Suy ra BM = CN.
b) Từ BDM = CEN suy ra DM = EN.
Mặt khỏc DMI + DIM = 900; ENI + EIN = 900
Mà DIM = EIM. Suy ra: DMI = ENI
Xột IDM và IEN cú 
DMI = ENI (cmt); DM = EN; MDI = NEI = 900
Suy ra IDM = IEN (g-c-g). Suy ra IM = IN.
Xột IKM và IKN cú:
IM = IN (cmt); MIK = NIK = 900; IK chung
Suy ra IKM = IKN (c – g – c)
 Suy ra KM = KN KMN cõn tại K 
c) Xột ABH và ACH cú:
AB = AC; ABH = ACH ( vỡ tam giỏc ABC cõn tại A); 
HB = HC 
Suy ra: ABH = ACH c – g – c). suy ra BAH = CAH
Hay BAK = CAK
 Xột ABK và ACK cú:
AB = AC, BAK = CAK; AK cạnh chung
Suy ra ABK = ACK (c – g – c). Suy ra ABK = ACK (1)
Và KB = KC.
Xột MBK và NCK cú:
MB = NC; MK = NK; KB = KC. Suy ra: MBK = NCK (c-c-c)
Suy ra MBK = NCK (2)
Từ (1) và (2) suy ra ACK = NCK mà ACK + NCK = 1800 
Suy ra: ACK = NCK = 900 : Suy ra CK AN
2,0 điểm
2,0 điểm
2 điểm
5
Đặt , ta có là tích của 5 sụ́ tự nhiờn liờn tiờ́p nờn chia hờ́t cho 5. Nhưng khụng chia hờ́t cho 5, do đó A chia hờ́t cho 5.
0,5 điểm
Nờ́u , ta có chia hờ́t cho 5 mà 11879 khụng chia hờ́t cho 5 nờn khụng thỏa mãn, suy ra y = 0.
0,5 điểm
Khi đó , ta có 
0,5 điểm
.
Vọ̃y là hai giá trị cõ̀n tìm.
0,5 điểm