Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán lớp 12 chuyên - Năm học 2015-2016 - Sở GD & ĐT Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán – Lớp 12 Chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016
Câu 1. (4,0 điểm)
 	Cho hàm số (C) . Chứng minh rằng với mọi đường thẳng luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm để đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2. (5,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 
b) Giải hệ phương trình: 
Câu 3. (3,0 điểm)
	Cho các số thực không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
Câu 4. (6,0 điểm)
	a) Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng 
và điểm Tìm tọa độ điểm E thuộc mặt phẳng (P), F thuộc mặt phẳng (Q) sao cho . 
	b) Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác AMC và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh đường thẳng GI vuông góc với đường thẳng CM.
Câu 5. (2,0 điểm) 
	Cho dãy số thỏa mãn điều kiện: 
a) Chứng minh: là dãy số tăng.
b) Với mỗi , đặt . Chứng minh rằng với mọi .
------------- Hết ------------- 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: Toán - Lớp 12 Chuyên
Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016
-------//-------
Câu
Đáp án
Điểm
1
4,0 đ
PT hoành độ giao điểm của (d) và (C) là (*) (vì không là nghiệm)
Dễ thấy đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt với mọi .
2,0
Gọi là nghiệm của (*), ta có 
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy tại m=-1 
2,0
2
2.a
(2,5 đ)
Phương trình đã cho .
Đặt . Ta có hệ: 
0,5
Vì nên . 
Do đó (1). 
0,5
Nếu đặt , khi đó (1) trở thành: . Ta tìm được . 
Do đó pt (1) nhận làm nghiệm. 
1,0
Mặt khác phương trình bậc 3 có nhiều nhất 3 nghiệm. 
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là 
0,5
2.b 
2,5 đ
Giải hệ phương trình: 
ĐK: 
Ta có (*)
Xét hàm 
Ta có 
Suy ra f(t) đồng biến và liên tục trên .
 Mà 
1,0
Thay vào (2) ta được: 
 (3) (ĐK )
Ta có <. 
Nên pt (3) có nghiệm duy nhất x=3.
Vậy hệ pt có nghiệm .
1,0
3
3,0 đ
Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có 
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có 
Do đó 
1,5
Đặt 
Xét hàm , .
Lập BBT suy ra 
Vậy tại 
1,5
4
4.a
3,0 đ
Tìm hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng (P) và (Q) là 
Điểm đối xứng của M qua (P) và (Q) là 
1,0
Do đó với thì . 
Đẳng thức xảy ra khi .
1,0
Tìm được . 
1,0
4.b
3,0 đ
Chọn hệ Oxy sao cho O là trung điểm BC,tia Ox là tia OC, tia Oy là tia OA.
Gọi BC=2a, 
Khi đó 
1,0
Tính được 
1,0
Ta có (đpcm)
1,0
5
 2,0 đ
Dùng quy nạp chứng minh đc . Do đó .
 Vậy là dãy tăng (đpcm)
1,0
Ta có . Do đó (đpcm)
1,0
-------------------- Hết -------------------