Đề thi học sinh giỏi cấp thị xã năm học: 2011 - 2012 môn: Toán lớp 8

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ
Năm học: 2011 - 2012
Môn: Toán – Lớp 8
ĐỀ BÀI:
ĐẠI SỐ:
Câu 1: 
	a/ Phân tích đa thức: thành nhân tử.
	b/ Cho P=1+x+x2++x2004+x2005
 Chứng minh rằng: x.P - P=x2006 - 1
Câu 2:
	a/ Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức sau có giá trị là số nguyên: 
	b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3:
	a/ So sánh hai số: 
	b/ Chứng minh rằng: chia hết cho 48 với mọi số chẵn n.
Câu 4:
	a/ Cho . Rút gọn biểu thức: 
	b/ Chứng minh rằng: luôn luôn dương với mọi giá trị của x.
Câu 5:
	a/ Thực hiện phép tính: 
	b/ Tìm số tự nhiên n để chia hết cho 
Câu 6: Thực hiện phép tính:
	a/
	b/
Câu 7: 
	Cho và a, b, c khác 0. Rút gọn biểu thức:
Câu 8:
	a/ Cho . Tính 
	b/ Tính nhanh: 
Câu 9: 
	a/ Tìm a sao cho đa thức: chia hết cho đa thức 
	b/ Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức:
Câu 10: 
	a/ Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến 
	b/ Cho a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng: 
Câu 11: Cho . Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 12: Rút gọn các biểu thức ( n là số nguyên dương)
	a/ 
	b/ 
Câu 13:
	a/ Tìm các số a và b sao cho phân thức viết được thành 
	b/ Rút gọn phân thức sau: 
Câu 14: Thực hiện phép tính:
	a/ 
	b/ Chứng minh rằng:
 Nếu và x+y+z=xyz thì 
Câu 15: Cho phân thức: 
	a/ Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định
	b/ Rút gọn phân thức
	c/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 0.
HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho tam giác ABC có = 60, các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC ở F. Chứng minh rằng:
	a/ E và F đối xứng với nhau qua BD
	b/ IF là tia phân giác của 
	c/ D và F đối xứng với nhau qua IC.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần 	lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC, còn R, S,T lần lượt là trung 
	điểm của các đoạn OA, OB, OC.
	a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật.
b/ Chứng minh rằng ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc của hình bình 	hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH
	a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
	b/ Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD.
Bài 4: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên tia đối của 	tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P, trên tia đối của tia 	AD lấy điểm Q sao cho BM= CN = DP = AQ.
	a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b/ Chứng minh rằng hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB. Từ C kẻ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MFCE, MF cắt BC ớ N.
	a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao? 
c/ Chứng minh rằng 
ĐÁP ÁN:
Câu 1: 
a/ = 
= 
= 
= 
b/ Ta có: P=1+x+x2++x2004+x2005
x.P= x+x2+x3++x2005+x2006
 x.P – P = (x+x2+x3++x2005+x2006) - ( 1+x+x2++x2004+x2005)
 = x+x2+x3++x2005+x2005-1-x-x2--x2004-x2005)
 = x2006- 1
	Câu 2:
	a/ Chia tử thức cho mẫu thức ta được thương là x2 và dư là 2
Do đó: P(x)= = x2+
Để P(x) có giá trị nguyên thì phải là số nguyên (Vì x2 luôn nguyên, ).
 x-1 phải là ước của 2 (hay 2 phải chia hết cho x-1)
x-1 
x
Vậy với x= 2; 0; 3; -1 thì biểu thức P(x) có giá trị nguyên.
	b/ 
	Vì với mọi x nên 
	Vậy A có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 
	Câu 3:
	a/ Ta có:
	= 
	= 
	= 
	Vậy A = 2.B
	b/ với mọi số chẵn n
	Ta có: = 
	= 
	Đặt ( vì n chẵn)
	Do đó: 
= ( vì là tích ba số nguyên liên tiếp nên 
	Vậy với mọi số chẵn n
	Câu 4:
	a/ 
	=
	=( Vì 
	= 
	b/ 
	= 
	Vì 
	Vậy > 0 với mọi x.
	Câu 5:
	a/ = 
	= 
	= 328 : 41 = 8
	b/ Để chia hết cho thì:
	Vậy n =5, n=6
	Câu 6:
	a/ 
	= 
	b/ 
	=
	Câu 7: 
	a/ Vì 
	Bình phương hai vế ta được: 
	Tương tự: 
	Do đó: 
	Câu 8: 
	a/ Ta có: = (
	b/ 
	= 
Câu 9: 
 -
 -
	a/ 
Để đa thức chia hết cho đa thức thì đa thức dư bằng 0 với mọi giá trị của x, do đó:
Vậy với a=3 thì đa thức chia hết cho đa thức 
b/ Ta có 
	 = 
 = 
 = 
 = 
Câu 10: 
a/ 
= 
= 10
Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến x, y.
b/ Ta có:
a+b+c = 0 a+b = -c 
+3ab(a+b) = +3ab(-c)= hay - 3abc=
(đpcm)
Câu 11: = 
	= 
Vì nên M = -3
Câu 12:
a/ 
	 = 
 = 
b/ 
	 = 
 = 
Câu 13:
a/ (Dùng phương pháp hệ số bất định )
Ta có: 
Đồng nhất các hệ số với phân thức ta có:
Vậy =
b/ 
= 
 =
Câu 14: 
a/ 
= 
= 
= 
b/ Ta có: 
 ( Vì x+y=z=xyz )
Câu 15: 
a/ Giá trị của phân thức M được xác định khi:
 và và 
Vậy với điều kiện và thì giá trị của phân thức M xác định.
b/ Ta có: 
	= 
	= 
Vậy 
c/ Giá trị của phân thức M bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0
Do đó: 
	 hoặc (vì 
	 hoặc ( thỏa điều kiện)
Vậy với thì M = 0
HÌNH HỌC
Bài 1: Cho tam giác ABC có = 60, các đường phân giác BD và CE cắt nhau 	tại I. Qua E kẻ đường vuông góc với BD, cắt BC ở F. Chứng minh rằng:
	a/ E và F đối xứng với nhau qua BD
	b/ IF là tia phân giác của 
	c/ D và F đối xứng với nhau qua IC.
	Chứng minh:	
	¯
Gt 
 = 60, BD và CE là các đường phân giác
BDCE = I, EFBD( F
Kl
a/ E và F đối xứng với nhau qua BD
b/ IF là tia phân giác của 
c/ D và F đối xứng với nhau qua IC.
	¯a/ (cạnh gv- gn)
	 cân tại B
	 Do BD là tia phân giác của nên BD là đường trung trực của EF.
	Vậy E và F đối xứng với nhau qua BD.
	 b/ Do = 60 += 60
	 = 120 
 = 60 = 60 = 60
Vậy IF là tia phân giác của 
	 c/ (g-c-g)
	 IF = ID, CF = CD
	Do đó CI là đường trung trực của DF
	Vậy D và F đối xứng với nhau qua CI.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, O là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P lần 	lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC, còn R, S,T lần lượt là trung 
	điểm của các đoạn OA, OB, OC.
	a/ Chứng minh tứ giác MPTS là hình chữ nhật.
b/ Chứng minh rằng ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
	Chứng minh:	
	¯
GT 
 O là trực tâm của tam giác
M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC
R, S, T lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC.
KL
a/ Tứ giác MPTS là hình chữ nhật
b/ Ba đoạn RN, MT, SP bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
	¯a/ Trong ABC có MP là đường trung bình
	 MP // BC và (1)
	 BOC có ST là đường trung bình
	 ST // BC và 	(2)
	Từ (1) và (2) MP // ST và MP = ST
	Do đó tứ giác MPTS là hình bình hành
	Do MP // BC và MS // AO
	Mà AOBC (gt) Nên MPMS hay 
	Vậy hình bình hành MPTS có một góc vuông nên là hình chữ nhật.
	b/ Chứng minh tương tự, tứ giác MRTN là hình chữ nhật.
	 Hai hình chữ nhật MPTS và MRTN có chung đường chéo MT 
	Nên ba đoạn MT, SP, RN bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc của hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH
	a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
	b/ Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD.
Chứng minh:	
	¯
GT
ABCD là hình bình hành.
Các tia phân giác của các góc của hình bình 	hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH
KL
a/ Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?
b/ EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề mỗi đỉnh của hình bình hành ABCD.
	¯a/ Trong AFD ta có:
	Nên = 90
	Tương tự = 90, 
	Do đó: 
	Vậy tứ giác EFGH có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
	 b/ Do EFGH là hình chữ nhật nên:
«EG = FH
«EF // HG
AM // NC, MC // AN (gt)
Tứ giác ANNC là hình bình hành.
ABM có BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên ABM cân ở B.
	 Do đó E là trung điểm của AM (1)
	 Tương tự G là trung điểm của CN (2)
	Từ (1) và (2) EG là đường trung bình của hình bình hành AMCN 
	Nên EG = 
	Do cân ở B nên BM = BA Vì thế CM = CB – BM = CB – BA
	Vậy EG = FH = CB – BA
Bài 4: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên tia đối của 	tia CB lấy điểm N, trên tia đối của tia DC lấy điểm P, trên tia đối của tia 	AD lấy điểm Q sao cho BM= CN = DP = AQ.
	a/ Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b/ Chứng minh rằng hình bình hành MNPQ và hình thoi ABCD có chung tâm đối xứng.
Chứng minh:	
	¯
GT
ABCD là hình thoi, M tia đối của tia BA
N tia đối của tia CB, P tia đối của tia DC,
Q tia đối của tia AD sao cho BM = CN = DP = AQ
KL
a/ Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b/ Hình bình hành MNPQ là hình thoi.
ABCD có chung tâm đối xứng.
	¯a/BMN = DPQ (c.g.c)
	 MN = PQ
	 AMQ = CPN (c.g.c)
	 QM = NP
	Tứ giác MNPQ có các cạnh đối bằng nhau nên là hình bình hành.
 b/ Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (1)
 Tứ giác AQCN là hình hành (AQ // NC và AQ = NC)
Nên hai đường chéo AC và NQ cắt nhau tại trung điểm O 
của mỗi đường (2)
Tứ giác MNPQ là hình bình hành nên hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (3)
Từ (1), (2) và (3) O là giao điểm hai đường chéo của hình thoi ABCD và O cũng là giao điểm hai đường chéo của hình hành MNPQ nên O là tâm đối xứng chung của hai hình đó.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có AD = 2AB. Từ C kẻ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M kẻ MFCE, MF cắt BC ớ N.
	a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao? 
c/ Chứng minh rằng 
Chứng minh:	
	¯
GT
ABCD là hình bình hành, AD = 2AB, CEAB, M là trung điểm AD, nối EM, MFCE, MF cắt BC ớ N.
KL
a/ Tứ giác MNCD là hình gì? Vì sao?
b/ Tam giác EMC là tam giác gì? Vì sao? 
c/ Chứng minh rằng 
	¯a/ Ta có AB // CD 
	AEEC (gt) 
	MFCE
	AE // MF
	Nên AE // MF // DC, do AD = 2AB
	MN = MD = DC = NC
Nên Tứ giác MNCD là hình thoi
	b/ MEC cân tai M vì có MF là đường cao.
	Có EF = FC nên là đường trung tuyến.
	c/ MC là đường chéo của hình thoi MNCD 
	Nên MC là đường phân giác của 
	Ta có =
 =( so le trong)
Do đó ==+=+= 2
Vậy (đpcm).
---Hết---
Tân Bình, ngày 16/12/2011
GV biên soạn: Lê Thị Hà và Tống Thùy Oanh
Kí tên:
17/12/2011
Kí duyệt của TTCM:
Xác nhận của BGH: