Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố lớp 9 THCS (năm 2016 – 2017) môn Toán

CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 1 www.thangtienthanglong.edu.vn 
1 
 CAO HỒNG LỢI 
Bài 1: (3 điểm) 
Cho ba số a, b, c thỏa các điều kiện: a b 7;b c 3.    
Tính giá trị của biểu thức 
2 2 2
2 2
a b c ab bc ca
P
a c 2ab 2bc
    

  
. 
Bài 2: (3 điểm) 
Giải phương trình:   22x 1 x 3 x 3    
Bài 3: (3 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
   
  
x y 1 y x 1 6
x 1 y 1 1
    

  
Bài 4: (4 điểm) 
1) Cho 2 số thực dương x, y thỏa 
x 2y
1
1 x 1 y
 
 
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2P xy 
2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình:   x y x 2y x 5    
Bài 5: (5 điểm) 
1) Cho tam giác nhọn ABC cĩ H là trực tâm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. 
Đường phân giác trong gĩc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuơng gĩc với HK. 
2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao , đường phân 
giác trong của tam giác ABC  H,D BC . Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại F và tia FD 
cắt (O) tại K. Chứng minh rằng: AK là đường kính của (O). 
Bài 6: (2 điểm) 
 Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một mơn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng khơng 
bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bĩng bàn và hai ngày sau đĩ anh ta chơi 
bĩng đá. Nam cịn đi bơi và chơi cầu lơng, nhưng khơng bao giờ Nam chơi cầu lơng sau ngày anh ta chạy 
hoặc bơi. Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi? 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 9 – THCS (NĂM 2016 – 2017) 
 MƠN TỐN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
 Ngày thi: 20/3/2017 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 2 www.thangtienthanglong.edu.vn 
2 
Hướng dẫn giải 
Bài 1: (3 điểm) 
Cho ba số a, b, c thỏa các điều kiện: a b 7;b c 3.    
Tính giá trị của biểu thức 
2 2 2
2 2
a b c ab bc ca
P
a c 2ab 2bc
    

  
. 
Ta cĩ:  a b 7;b c 3 a b b c 7 3 a c 10             
Ta cĩ: 
     
 
     
    
2 2 2 2 2 2
2 2
a b b c c a a b b c c a
P
2 a c a c 2b a c2 a c 2ab 2bc
         
 
        
     
  
     
       
2 2 2 2 2 2
2 2 2a b b c c a a b b c c a 7 3 10 79
402 a c a c 2b 2 a c a b b c 2 10 7 3
           
   
             
Bài 2: (3 điểm) 
 Giải phương trình:   22x 1 x 3 x 3    
Điều kiện: x 3  
Phương trình đã cho tương đương với: 
 
  
2
2
2
2x x 3 x 3 x 3
x x 3 x 2x x 3 x 3
x x 3 x x 3
x x 3 x x 3 1 0
x x 3 0 x 3 x (1)
x x 3 1 0 x 3 x 1 (2)
    
       
     
      
     
  
        
Giải (1), 
2
x 0
13 1
x 0 13 1x
x 3 x x
2
2x 3 x
13 1
x
2
 

                

 (nhận) 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ 
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 9 – THCS (NĂM 2016 – 2017) 
 MƠN TỐN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
 Ngày thi: 20/3/2017 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 3 www.thangtienthanglong.edu.vn 
3 
Giải (2), 
2 2
x 1
17 3
x 1 0 x 1 17 3x
x 3 x 1 x
2
2x 3 x 2x 1 x 3x 2 0
17 3
x
2
 

                             

 (nhận) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
13 1 17 3
S ;
2 2
   
  
  
Bài 3: (3 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
   
  
x y 1 y x 1 6
x 1 y 1 1
    

  
Ta cĩ: 
   
  
x y 1 y x 1 6 xy x xy y 6 2xy x y 6
xy x y 1 1 xy x y 2x 1 y 1 1
            
   
          
  2
3xy 8 3xy 8 3xy 8 3xy 8
xy x y 2 3xy 3x 3y 6 8 3x 3y 6 3x 3y 2
4
xy 2
3
4
y 23y 2 y 8 3y 2y 8 0 y
3
3x 3y 2 x 23x 3y 2
2
x y 4
y3
3
      
      
              

  
 
            
      
        
   
   

Bài 4: (4 điểm) 
1) Cho 2 số thực dương x, y thỏa 
x 2y
1
1 x 1 y
 
 
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2P xy . 
Ta cĩ:       
x 2y
1 x 1 y 2y 1 x 1 x 1 y
1 x 1 y
        
 
x xy 2y 2xy 1 y x xy y 2xy 1 2xy 1 y              
Do đĩ ta cĩ:  
2 2 2
2
y y y y 4y 4y 1 1 1 (2y 1) 1 1
xy 2xy. 1 y . P
2 2 2 8 8 8 8 8
      
          
Vậy 
max
1
P
8
 . Dấu ‘’=’’ xảy ra khi 
1
y
2
 và 
1
x
2
 
2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình:   x y x 2y x 5    
Cách 1: phương trình 2 ẩn x, y nguyên (bậc 2 đối với x, y) 
Ta cĩ:     2 2 2 2x y x 2y x 5 x 3xy 2y x 5 x 3y 1 x 2y 5 0               
   
2
2 2
y
3y 1 4 2y 5 y 6y 21        . 
Để x, y nguyên thì 
y
 là số chính phương 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 4 www.thangtienthanglong.edu.vn 
4 
 Đặt 2
y
k  (khơng mất tính tổng quát, ta giả sử k N ) 
 
    
2 2
2
2
y 6y 21 k
y 3 12 k
y 3 k y 3 k 12 12 1.12 3.4 2.6
   
   
             
Vì k N nên y 3 k y 3 k     
Vì    y 3 k y 3 k 2y 6       là số chẵn 
Nên    y 3 k , y 3 k    cĩ cùng tính chẵn lẻ. 
Do đĩ chỉ cĩ 2 trường hợp thỏa đề 
TH1: 
y 3 k 2 y k 1 y 5
y 3 k 6 y k 9 k 4
        
   
       
Với y = 5, thế vào phương trình   x y x 2y x 5    , ta được: 
     
x 5
x 5 x 10 x 5 x 5 x 10 1 0
x 9
  
          
 
(Thử lại thấy đúng) 
TH2: 
y 3 k 6 y k 3 y 1
y 3 k 2 y k 5 k 4
         
   
       
Với y = 1, thế vào phương trình   x y x 2y x 5    , ta được: 
   2 2
x 1
x 1 x 2 x 5 x 3x 2 x 5 x 2x 3 0
x 3
 
              
 
 (Thử lại thấy đúng) 
Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm nguyên          x;y 5;5 , 9;5 , 1;1 , 3;1    
Cách 2: dùng lớp 8, bổ sung hằng đẳng thức. 
Ta cĩ:     2 2 2 2x y x 2y x 5 x 3xy 2y x 5 x 3y 1 x 2y 5 0               
 
   
   
   
  
  
  
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
3y 1 3y 1 9y 6y 1 8y 20
x 2. x 0
2 2 4 4
3y 1 y 6y 21
x 0
2 4
2x 3y 1 y 6y 21 0
2x 3y 1 y 6y 9 12
2x 3y 1 y 3 12
2x 3y 1 y 3 2x 3y 1 y 3 12
2x 2y 2 2x 4y 4 12
x y 1 x 2y 2 3
       
        
   
   
    
 
      
      
     
         
     
     
Do x, y nguyên nên, ta cĩ bảng sau: 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 5 www.thangtienthanglong.edu.vn 
5 
x y 1  1 -1 3 -3 
x 2y 2  3 -3 1 -1 
x -5 -3 1 -9 
y 5 1 1 5 
Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm nguyên          x;y 5;5 , 3;1 , 1;1 , 9;5    
Bài 5: (5 điểm) 
1) Cho tam giác nhọn ABC cĩ H là trực tâm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Đường 
phân giác trong gĩc A cắt MN tại K. Chứng minh rằng AK vuơng gĩc với HK. 
T
K
M
N
H
O
C
B
A
Gọi O là tâm của (ABC) 
Vẽ đường kính AT của (O). 
Ta dễ chứng minh tứ giác BHCT là hình bình hành 
 2 đường chéo BC và HT cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 
Mà M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của HT. 
 Do đĩ, ta chứng minh được MN là đường trung bình của AHT  MN // AT 
Ta cĩ: 
 
 
BAK CAK ...
BAH CAT de ã chứng minh
 


BAK BAH CAK CAT HAK TAK      
Mà TAK AKN (2 gĩc so le trong và MN // AT) 
Nên HAK AKN NAK  cân N  KN = NA 
Mặt khác 
1
NA AH
2
 nên 
1
KN AH KAN
2
  vuơng tại K HK AK  
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 6 www.thangtienthanglong.edu.vn 
6 
2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O). Gọi AH, AD lần lượt là đường cao , đường phân giác 
trong của tam giác ABC  H,D BC . Tia AD cắt (O) tại E, tia EH cắt (O) tại F và tia FD cắt (O) 
tại K. Chứng minh rằng: AK là đường kính của (O). 
K
F
H D
E
O
B C
A
Gọi E là giao điểm của tia AD và (O) 
Do đĩ, ta chứng minh được sđ EA = sđ EC 
 Mà  1FHB sđBF sđEC
2
  (gĩc cĩ đỉnh bên trong đường trịn chắn BF và EC ) 
Nên  1 1FHB sđBF sđEB FHB sđEF
2 2
    
Mặt khác 
1
FAD sđEF
2
 (gĩc nội tiếp chắn BF của (O)) 
Nên FHB FAD  tứ giác AFHD nội tiếp 0AFD AHD 90   
Mà 
1
AFD AOK
2
 (gĩc nội tiếp và gĩc ở tâm chắn AK của (O)) 
Nên 0 0
1
90 AOK AOK 180
2
   A, O, K thẳng hàng 
Mặt khác AK là dây cung của (O) nên AK là đường kính của (O). 
CỔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 
16-17 
Trụ sở chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q. TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 
Trang 7 www.thangtienthanglong.edu.vn 
7 
Bài 6: (2 điểm) 
 Trong tuần, mỗi ngày Nam chỉ chơi một mơn thể thao. Nam chạy ba ngày một tuần nhưng khơng 
bao giờ chạy trong hai ngày liên tiếp. Vào thứ Hai, anh ta chơi bĩng bàn và hai ngày sau đĩ anh ta chơi 
bĩng đá. Nam cịn đi bơi và chơi cầu lơng, nhưng khơng bao giờ Nam chơi cầu lơng sau ngày anh ta chạy 
hoặc bơi. Hỏi ngày nào trong tuần Nam đi bơi? 
Theo đề bài, Nam chơi bĩng bàn thứ Hai và chơi bĩng đá vào thứ Tư. 
Do đĩ 3 ngày Nam chạy khơng thể rơi vào từ thứ Năm đến Chủ nhật (vì cĩ 2 ngày chạy liên tiếp) 
1 ngày Nam chạy vào thứ Ba. 
Vì vậy, 2 ngày chạy cịn lại sẽ rơi vào từ thứ Năm đến Chủ nhật. 
Ta xét 3 trường hợp sau: 
TH1: Nam chạy vào thứ Năm + thứ Bảy 
Nam chơi cầu lơng thứ Sáu hoặc Chủ nhật đều khơng thỏa đề (vì đều ngày sau chạy) 
TH2: Nam chạy vào thứ Năm + Chủ nhật 
Nam khơng thể chơi cầu lơng vào thứ Sáu mà phải chơi cầu lơng vào thứ Bảy 
 Nam bơi vào thứ Sáu (loại vì khi đĩ Nam chơi cầu lơng vào thứ Bảy sau ngày bơi) 
TH3: Nam chạy vào thứ Sáu + Chủ nhật 
 Nam khơng thể chơi cầu lơng vào thứ Bảy mà phải chơi cầu lơng vào thứ Năm 
Nam bơi vào thứ Bảy (thỏa đề). 
Vậy thứ Bảy trong tuần, Nam đi bơi. 
   HẾT  