Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Yên Lập năm học 2012 - 2013 môn thi: Toán, lớp 8

UBND HUYỆN YấN LẬP
PHềNG GD&ĐT
( Đề chớnh thức)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2012 - 2013
MễN THI: TOÁN, LỚP 8
 Ngày thi: 
(Thời gian làm bài 120 phỳt khụng kể thời gian giao đề )
( Đề thi có 01 trang )
Cõu 1 ( 4,0 điểm): 
a) Tớnh giỏ trị của biểu thức A = x4 – 17x3 + 17x2 - 17x + 20 tại x = 16.
b) Với m, n là 2 số nguyờn tựy ý. Chứng minh rằng 4mn(m2 - n2) 24. 
Cõu 2 ( 4,0 điểm): 
a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử .
b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn x sao cho x2 + 8 là bỡnh phương của một số tự nhiờn.
Cõu 3 ( 6,0 điểm): Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chộo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E; cắt BC tại F. Chứng minh rằng:
a) ;
b) OE = OF;
c) .
Cõu 4 ( 4,0 điểm): Giải cỏc phương trỡnh sau:
a) 4x2 - 4x -3 = 0;
b) = 0.
Cõu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là cỏc số khỏc 0 và a + b + c 0 thỏa món điều kiện .
Chứng minh .
 Hết 
Họ và tờn học sinh:..., số bỏo danh.
Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012-2013
MễN TOÁN 8
Cõu 1 ( 4,0 điểm): 
a) Tớnh giỏ trị của biểu thức A = tại x = 16.
b) Với m, n là 2 số nguyờn tựy ý. Chứng minh rằng 4mn(m2 - n2) 24. 
Đỏp ỏn
Điểm
a) A = x4-16x3-x3+16x2+x2-16x-x+16+4
= x3(x-16)-x2(x-16)+x(x-16)-(x-16)+4
Với x = 16, giỏ trị của biểu thức A là 4
0,5
0,5
0,5
b) Với m,nZ, ta cú mn(m2 - n2) = mn[(m2-1)-(n2-1)]
= mn(m2-1) - mn(n2-1) = mn(m-1)(m+1) - mn(n-1)(n+1) 
Ta thấy m(m-1)(m+1) là tớch của 3 số nguyờn liờn tiếp nờn
m(m-1)(m+1) 3. 
m(m-1) là tớch của 2 số nguyờn liờn tiếp nờn m(m-1) 2 
hay m(m-1)(m+1) 2. 
 Mà (2,3) = 1 => m(m-1)(m+1) 6. 
Tương tự n(n-1)(n+1) 6
suy ra mn(m-1)(m+1) - mn(n-1)(n+1) 6 hay mn(m2 - n2) 6 
Suy ra 4mn(m2 - n2) 24 (Đpcm)
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
0,5
Cõu 2 ( 4,0 điểm): 
a) Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử .
b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn x sao cho x2 + 8 là bỡnh phương của một số tự nhiờn.
Đỏp ỏn
Điểm
a) 
= a2b + ab2 – b2c – bc2 + ac(a-c)
= b(a2 – c2) + b2(a – c) + ac(a-c)
= b(a-c)(a+c) + b2(a – c) + ac(a-c)
= (a-c)(ab + bc + b2 + ac)
= (a-c)(a+b)(b+c)
0,5
0,5
0,5
0,5
b) Giả sử cú số tự nhiờn x thỏa món đề bài
Đặt x2 + 8 = y2 (1) (Với y N) ú y2 – x2 = 8 ú (y-x)(y+x) = 8 (2)
Theo (1): y2 = x2 + 8 > x2 hay y2 > x2 
Nhưng x, yN nờn y>x => y-x > 0 và x+y > 0
Mặt khỏc (y+x) – (y-x) = 2x0 (do x N)
Từ (2) => (3) hoặc (4) 
Từ (3) => y = (Khụng thỏa món)
Từ (4) => y = và x = (Thỏa mãn điều kiện)
Thử lại ta thấy x = 1 => x2 + 8 = 9 = 32
Vậy x=1 là giá trị duy nhất cần tìm.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu 3 ( 6,0 điểm): Cho hình thang ABCD (AB//CD), O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại E; cắt BC tại F. Chứng minh rằng:
a) ;
b) OE = OF;
c) .
Đỏp ỏn
Điểm
a) Kẻ AHCD và BKCD => AHAB (vỡ AB//CD)
 => Tứ giỏc AHKB là hỡnh chữ nhật => AH = BK
=> Ta cú SADC =AH.DC = BK.DC = SBDC
=> SADC = SBDC => SAOD + SDOC = SBOC + SDOC => 
0,5
0,5
0,5
b) Vỡ OE//CD nờn (Hệ quả của Định lớ Ta let) (1)
 Vỡ OF//CD nờn (Hệ quả của Định lớ Ta let) (2)
Vỡ AB//CD nờn (Hệ quả của Định lớ Ta let) 
=> (Tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau)
=> (3). Từ (1), (2) và (3) ta cú 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
c) 
Vỡ OE//AB nờn (4) 
Mà ( Vỡ OE = OF theo cõu a)
 = (Theo (4))
Chứng minh tương tự 
=+= 
=> 
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4 ( 4,0 điểm): Giải các phương trình sau:
a) 4x2 - 4x -3 = 0;
b) = 0.
Đỏp ỏn
Điểm
a) 4x2 - 4x -3 = 0
 4x2 - 1 - 4x -2 = 0
 (2x-1)(2x+1) -2(2x+1)
(2x+1)(2x-3) = 0
 x = hoặc x = 
0,5
0,5
0,5
0,5
b) (1)
Đặt = t 
(1) t2 + 4t -12 = 0
 (t-6)(t+2) = 0
 t = 6 hoặc t = -2
Với t = 6 thay vào cỏch đặt ta được 
 = 6 (x-3)(x+2) = 0
 x = 3 hoặc x = -2
Với t = -2 thay vào cỏch đặt ta được 
 = -2 +2 = 0 (vụ nghiệm)
Vỡ +2 = =
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 3; x = -2
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Câu 5 (2,0 điểm): Cho a, b, c là các số khác 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện .Chứng minh .
Đỏp ỏn
Điểm
Ta cú : Û 
 Û Û 
 Û (a + b)(b + c)(c + a) = 0 Û Û 
 => 
0,5
0,5
ị .
0,5
0,5