Đề thi học sinh giỏi cấp huyện. vòng 2 năm học: 2012 – 2013. môn thi: Toán 9

ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN. VÒNG 2
 NĂM HỌC: 2012 – 2013. Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1: (2.0 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau: 
 	Rút gọn .
 Tính giá trị của khi .
 Chứng minh: 
Bài 2: (2.0 điểm). Giải các phương trình
	a. Cho . Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
 . 
b. Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 
Bài 3: (2.0 điểm)
a. Cho các số nguyên dương: sao cho:
N = chia hết cho 30.
Chứng minh: M = chia hết cho 30.
b. Cho thỏa mãn: . Chứng minh: 
Bài 4: ( 2,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD cạnh . Trên cạnh AB lấy điểm N, CN cắt đường thẳng DA tại E. Đường thẳng qua C vuông góc CN tại C cắt đường thẳng AB tại F. Diện tích tứ giác ACFE là 3.
a. Chứng minh: N là trung điểm AB.
b. Tính CF theo 
Bài 5: (1,5 điểm) 
Cho đường tròn cố định (O; R) đi qua đoạn thẳng BC cố định. Điểm M di chuyển trên đường tròn (O), M không trùng với B; C. Gọi G là trọng tâm tam giác MBC. Chứng minh rằng điểm G di động trên một đường tròn cố định.
Hết./.
Họ và tên thí sinh....SBD.
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI 9. MÔN: TOÁN
Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang
Bài
Ý
	Nội dung cần đạt	
Điểm
1.
2.0
a
1,0
ĐK: 
0.25x4
b
0.5
0.25
0.25
c.
0.5
Dấu “=” xẩy ra khi: ; mà không thuộc TXĐ
Vậy 
0.25
0.25
2.
2.0 
 2a.
1.0
Giá trị biểu thức bằng 2. không phụ thuộc giá trị của x
0.25x4
2b.
1.0
 là số nguyên lẻ
Mà 
HS tìm rồi thay vào tìm để tìm ra các cặp nghiệm: (2; 1); (2; -1); 
(-4; 1); (-4; -1)
0.25
0.25
0.25
0.25
3.
2.0
3a.
1.0
- HS lập luận: chia hết cho 6. vì có tích 3 số tự nhiên liên tiếp. 
- HS lập luận: chia hết cho 5. (Chia các trường hợp để xét: )
Mà (5; 6) = 1 nên 
Xét tương tự và suy ra được: 
Hay - 
Theo giả thiết: 
0,25
0.25
0.5
3b.
1.0
Vận dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
0,25
0,5
0.25
4a
1,5đ 
Gọi độ dài BN = b ( Với 0 < b < a)
C/m được: CBF = CDE (g-c-g) CF = CE (1)
Vì AN // DC nên áp dụng Talet: 
Suy ra: DE = EA + AD = + a 
Áp dụng định lý Py ta go vào ta có CE2 = CD2 +DE2 = a2 + (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra 
2SACEF = +
Do đó SACEF = 3SABCD = 3a2 
 a2 +ab -6b2 = 0 HS lập luận giải: a = 2b
Vậy điểm N trung điểm của AB
0,5
0,5
0,5
4b
1,0
Theo c/m trên: CF = CE mà theo (3) CE2 = 2 + 
0,5x2
5.
1,5
 Lấy N trung điểm BC. Trên NO lấy H sao cho (1). 
(O) cố định, BC cố định nên H cố định.
Theo tính chất trọng tâm: (2)
Từ (1) và (2): 
 H cố định 
 Vậy G chạy trên đường tròn (H; R/3)
0.5
0.25
0,25
0,5