Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn: Toán 7


Trường thcs nga thiên
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014
Môn: Toán 7
 (Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4 điểm) 
a) Tỡm số tự nhiờn n biết rằng: 
b) Cho biểu thức: 
Chứng tỏ rằng A < 1.
Bài 2 (4 điểm)
a) Tỡm x biết: 
b) Tỡm cỏc số x, y thỏa món đồng thời hai điều kiện sau: 4x = 5y và x2 – y2 = 1
Bài 3 (4 điểm)
a) Chứng minh rằng ba đơn thức khụng thể cựng cú giỏ trị õm.
b) Hai ụ tụ khởi hành cựng một lỳc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau lần thứ nhất, ụ tụ xuất phỏt từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ụ tụ xuất phỏt từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ụ tụ gặp nhau lần thứ hai ở C thỡ quóng đường AC dài hơn quóng đường BC là 50km. Tớnh quóng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc xe đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5.
Bài 4 (6 điểm)
	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc của cắt AC tại D, tia phõn giỏc của cắt AB tại E. Kẻ DH vuụng gúc với BC tại H, EK vuụng gúc với BC tại K.
a) Chứng minh rằng BA = BH và BD AH
b) AB + AC = BC + HK
c) Tớnh số đo gúc HAK
Bài 5 (2 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, trờn đoạn BD lấy điểm E sao cho . Chứng minh 
–––––––––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––––––––––
Phòng giáo dục - đào tạo
Tiền hải
kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013 - 2014
đáp án và biểu điểm chấm môn : Toán 7
 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang)
Bài 1 (4 điểm)
a) Tỡm số tự nhiờn n biết rằng: 
b) Cho biểu thức: . Chứng tỏ rằng A < 1.
Cõu
Nội dung
Điểm
a)
Ta cú: 
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
Vậy n = 3
0.25
b)
Ta cú: 
0.5
0.5
0.5
0.25
Vậy A < 1
0.25
Bài 2 (4 điểm)
a) Tỡm x biết: 
b) Tỡm cỏc số x, y thỏa món đồng thời 2 điều kiện sau: 4x = 5y và x2 – y2 = 1
Cõu
Nội dung
Điểm
a)
*) Nếu x 6 thỡ |x – 6| = x – 6 nờn từ 
0.5
< 6 (loại)
0.25
*) Nếu x < 6 thỡ |x – 6| = 6 – x nờn từ 
0.5
 (thỏa món điều kiện x < 6)
0.25
Vậy x = 4
0.25
b)
Từ 4x = 5y 
0.5
Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú: 
0.5
 hoặc x = 
0.5
*) Với x =
0.25
*) Với 
0.25
Vậy cỏc cặp số (x, y) cần tỡm là: 
0.25
Bài 3 (4 điểm)
a) Chứng minh rằng ba đơn thức khụng thể cựng cú giỏ trị õm.
b) Hai ụ tụ khởi hành cựng một lỳc từ hai địa điểm A và B, đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau lần thứ nhất, ụ tụ xuất phỏt từ A tiếp tục đi đến B và trở lại A ngay, ụ tụ xuất phỏt từ B tiếp tục đi đến A và trở lại B ngay. Hai ụ tụ gặp nhau lần thứ hai ở C thỡ quóng đường AC dài hơn quóng đường BC là 50km. Tớnh quóng đường AB biết vận tốc xe đi từ A và vận tốc xe đi từ B tỉ lệ thuận với 4 và 5.
Cõu
Nội dung
Điểm
a)
Giả sử cả 3 đơn thức cựng cú giỏ trị õm 
 tớch của 3 đơn thức cú giỏ trị õm 	(1)
0,5
Mặt khỏc: 
0,5
Vỡ x8y8 0 nờn 0 	(2)
0,5
Ta thấy (1) mõu thuẫn với (2) điều giả sử sai. 
Vậy ba đơn thức khụng thể cựng cú giỏ trị õm.
0,5
b)
Khi 2 xe gặp nhau lần thứ 2 ở C thỡ:
Quóng đường xe xuất phỏt từ A đó đi là: AB+BC	(1)
Quóng đường xe xuất phỏt từ B đó đi là: BA+AC	(2)
0,5
 Quóng đường 2 xe đó đi đến khi gặp nhau ở C là: (AB+BC)+(BA+AC)= 3AB
0.25
Trong cựng một thời gian, quóng đường và vận tốc là 2 đại lượng tỉ lệ thuận. Vỡ vận tốc xe đi từ A và B tỉ lệ thuận với 4 và 5 nờn quóng đường xe đi từ A và B đó đi tỉ lệ thuận với 4 và 5. 
0.25
 Khi gặp nhau tại C thỡ:
Quóng đường xe xuất phỏt từ A đó đi là: 
0.25
Quóng đường xe xuất phỏt từ B đó đi là: 
0.25
 Quóng đường xe đi từ B hơn quóng đường xe đi từ A là: 	(3)
Từ (1), (2), (3)(BA+AC)–(AB+BC)= AC–BC = 
0.25
Theo bài ra: quóng đường AC dài hơn quóng đường BC là 50km nờn ta cú: = 50 AB = 150 (km)
0.25
Bài 4 (6 điểm)	Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. Tia phõn giỏc của cắt AC tại D, tia phõn giỏc của cắt AB tại E. Kẻ DH vuụng gúc với BC tại H, EK vuụng gúc với BC tại K.
	a) Chứng minh rằng BA = BH và BD AH
b) AB + AC = BC + HK
c) Tớnh số đo gúc HAK
Cõu
Nội dung
Điểm
GT, KL và hỡnh vẽ đỳng
0.5
a)
Chứng minh BDA = BDH (ch, gn) 
0.5
 BA = BH (Tương ứng)	(đpcm)
0.5
Gọi I là giao điểm của BD và AH, chứng minh BIA = BIH (cgc)
0.5
 (Tương ứng)
Mà (Kề bự)
0.5
 BI AH hay BD AH (đpcm)
0,25
b)
Theo chứng minh trờn ta cú: AB = BH 
Chứng minh tương tự ta cú: AC = CK 
0.5
 AB+AC = BH + CK = BK + KH + CK 
0.5
Vậy AB+AC = BC+HK (đpcm)
0.5
c)
BAH cõn tại B 
0.25
CAK cõn tại C 
0.25
Mà 
0.25
0.25
0.25
0.25
Vậy 
0.25
Bài 5 (2 điểm)
Cho tam giỏc ABC cõn tại A. Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng AC, trờn đoạn BD lấy điểm E sao cho . Chứng minh 
Cõu
Nội dung
Điểm
Vẽ hỡnh, ghi GT-KL đỳng
0.25
Kẻ AF và CG cựng vuụng gúc với BD, CH AE
Ta cú: ABF = CAH (ch-gn) AF = CH
0.25
Ta cú: ADF = CDG (ch-gn) AF = CG CH=CG 
0.25
Chứng minh CEH=CEG 
0.25
Mà (gúc ngoài tam giỏc)
0.25
Hay 	 (vỡ nờn (1)
0.25
ABC cõn tại A 	 (2)
0.25
Cộng vế với vế của đẳng thức (1) và (2) (đpcm)
0.25