Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Yên Định (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HUYỆN YÊN ĐỊNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23/02/2016
(Đề thi này gồm 05 bài trong 01 trang)
Bài 1 (4 điểm)	Cho biểu thức 
a/ Rút gọn biểu thức P
b/ Tìm x để biểu thức 
Bài 2 (4 điểm) 
a/ Cho đường thẳng (d): ; với tham số, 
Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi 
b/Cho đường thẳng (d): với m là tham số. Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
c/ Giải phương trình 
Bài 3 (4 điểm)
a/ Giải hệ phương trình: 
b/ Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x; y ; z) thỏa mãn: là phân số tối giản và là số nguyên tố. 
Bài 4 (6 điểm) 1/ Cho đường tròn tâm O đương kính AN. Dây AB khác AN, lấy P,Q thuộc dây AB sao cho AP = PQ = QB và OP, OQ cắt (O) lần lượt tại K,L. Chứng minh rằng cung AK nhỏ hơn cung KL
2/ Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Các phân giác AM, BN,CP cắt nhau tại I. Chứng minh rằng: a/ 
Bài 5 (2 điểm) Cho x, y là các số dương thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 Hết 
Họ tên thí sinh:................................. Số báo danh:................. Giám thị không giải thích gì thêm
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN ĐỊNH
 HƯỚNG DẪN CHẤM
THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013 - 2014
Môn thi: Toán
Ngày thi: 20/02/2014
(Hướng dẫn chấm này gồm 05 trang)
Câu
Ý
Đáp án và hướng dẫn chấm
Điểm
1
a
(2đ)
 = 
 = 
 = 
 Vậy P = 
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
b
(2đ)
Ta có: 
 . Vì 
 Vậy x = 9 thì 
0.25
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
2
1.a
(1đ)
(d): ; với tham số, 
Gọi I là điểm cố định (d) luôn đi qua: Thay vào PT của (d) ta có: 
 , với mọi 
 ,
 Vậy điểm cố định (d) luôn đi qua là I(1;-2)
0.25
0.25
0.25
0.25
1.b
(1.5đ)
Xét . Suy ra khoảng cách từ O đến (d) bằng 2
Xét . Tìm được:
Tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục Ox: A
 Giao điểm B của đồ thị hàm số với trục Oy: B
Ta có: AOB vuông tại O và có khoảng cách từ O đến (d) là OH (đường cao) nên: hay 
 Dấu “=” xảy ra khi .
 Vì 2 nên 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
2
(1.5đ)
ĐK: .
Ta có: 
 Suy ra ; (TMĐK)
 Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
3
a
(2đ)
Thay (1) vào (2) được 2x3 = (x+y)(x2+y2-xy) = x3+y3
 Thay x = y vào (2) ta được : 2x3= 2x 2x(x-1)(x+1)=0
 Suy ra: x=0 hoặc x=1 hoặc x=-1
Thử lại:
+) Với x=y=0 thay vào (1) không thoả mãn.
+) Với x=y=1 thay vào (1) thoả mãn.
+) Với x=y =-1 thay vào (1) thoả mãn.
 Vậy nghiệm của hệ phương trình: (x;y) = (1;1),(-1;-1).
 0.5
 0.5
 0.5
 0.5
b
(2đ)
Tìm các số nguyên dương x,y, z sao cho là phân số tối giản và
 là số nguyên tố. 	
Ta có , trong đó m, n là các số nguyên thỏa mãn 
n0, (m, n) = 1.
Vì là số vô tỉ và m, n, x, y, z là các số nguyên nên ta có 
(2) nx – my = ny – mz = 0 .
Ta lại có : 
Vì là số nguyên tố và x + y + z là số nguyên lớn hơn 1 nên x – y + z = 1. Do đó 
Nhưng x, y, z là các số nguyên dương nên 
Suy ra x2 = x, y2 = y, z2 = z => x = y = z = 1.
Khi đó và (thỏa mãn)
Vậy (x ; y ; z) = (1 ; 1 ; 1) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
4
1
(2đ)
 Cho đường tròn tâm O đương kính AN. Dây AB khác AN, lấy P,Q thuộc dây AB sao cho AP = PQ = QB và OP, OQ cắt (O) lần lượt tại K,L. Chứng minh rằng cung AK nhỏ hơn cung KL
-Vẽ đường kính AN 
 -Chỉ ra được OP là đường trung bình của rAQN PO // QN 
 (đồng vị) 
 (So le trong)
 Xét rONQ có OQ < ON 
 hay 
 Sđ < Sđ KL
 AK < KL
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
 2a
(2đ)
2b
(2đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Các phân giác AM, BN,CP cắt nhau tại I. Chứng minh rằng:
a/ 
b/ 
Kẻ IK, AH vuông góc với BC tại K, H. Ta có:
Tương tự, ta có:
Suy ra: 
Ta có: 
 Chứng minh: (*)
 Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z
Áp dụng (*)
Khi tam giác ABC đều thì dấu đẳng thức xảy ra.
 0.5
0.5
 0.5
 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
5
 2đ
 Do x, y > 0 và ta suy ra x > y > 0 
 và xy(x-y)2 = (x+y)2 (1)
Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2 4b)
Ta có: (1)
 Suy ra: b-1 > 0 và 
 Lại có: 
 (theo bđt cô si)
 Do đó: 
 Mà a > 0 nên 
 Dấu “=” xảy ra khi 
 Khi đó: (Vì x > y)
 Vậy Min (x+y)=4 khi .
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
 Lưu ý: Học sinh giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng.
 Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không cho điểm.