Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD & ĐT Tĩnh Gia (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TĨNH GIA 	ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
 	 Năm học: 2013-2014
 Môn Toán - Lớp 7
 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm) Thực hiện phép tính:
A = + 
B = 
Câu 2 (4 điểm) 
Tìm x, y biết: 
Cho , chứng minh rằng: chia hết cho 27 
Câu 3 (4 điểm) 
 1) Cho và . Tính x + 2y + 3z 
 2) Cho hai đa thức: f(x) = ax2 + bx + c và g(x) = cx2 + bx + a
 Chứng minh rằng: Nếu f(x0) = 0 thì g() = 0 (với )
Câu 4 (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N và cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: 
AE = AF
BE = CF
Câu 5 (3 điểm) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau tối giản:
----Hết----
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: ........................................................................... SBD: ...................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ HSG HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN TOÁN 7
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4 điểm)
1
(2đ)
A = + 
 = =
1đ
1đ
2
(2đ)
B = 
 = 
 =
 = 
0,5đ
0,5đ
 0,5đ
0,5đ
Câu 2
(4 điểm)
1
(2đ)
Ta có: và 
Suy ra: 
Phương trình đẫ cho 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
2
(2đ)
Ta có: = (1)
Mặt khác là số có tổng các chữ số là 1 
Nên là số có tổng các chữ số là 3
Suy ra: 	(2)
Từ (1) và (2) suy ra: hay 
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
Câu 3
(4 điểm)
1
(2đ)
Ta có: x3 = 8 x = 2
Suy ra: 
+) 
+) 
Vây: x + 2y + 3z = 2+ 2.(-7) + 3.1 = - 9
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
2
(2đ)
- Ta có: f(x0) = 0 ax02 + bx0 + c = 0 
 g() = 
 = 
 = 
 = (đpcm)
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 4
(5 điểm)
1
(1,5đ)
- Xét ANE và ANF có :
 AN chung
 (gt)
Suy ra : ANE =ANF (g – c - g)
 AE = AF (2 cạnh tương ứng)
1đ
0,5đ
2
(2đ)
- Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF tại K 
- Xét BME và CMK có :
 MB = MC (gt)
 (đối đỉnh) 
 (so le trong)
 Suy ra: BME = CMK (g – c - g)
 BE = CK (2 cạnh tương ứng) (1)
- Vì AE = AF nên tam giác AEF cân tại A, suy ra: 
 Mà: (đối đỉnh) và (so le trong)
Suy ra: 
 tam giác CFK cân tại C 
 CF = CK (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: BE = CF (đpcm) 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3
(1,5đ)
Ta có: AE = AB + BE
 AF = AC – FC
 Suy ra: AE + AF = AB + BE + AC – FC = AB + AC
Mà: AE = AF, suy ra: 2.AE = AB + AC
 (đpcm)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Câu 5
(3 điểm)
Các số đã cho có dạng: (với k = 7, 8,  , 31)
Nếu là phân số tối giản thì cũng là phân số tối giản
Mà tối giản (n + 2, k) = 1 
n + 2 nguyên tố cùng nhau với 7, 8,,31 và n + 2 nhỏ nhất n + 2 = 37 n = 35
0,5đ
0,5đ
1đ
0,5đ
0,5đ