Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán - Lớp 6 năm học 2016 – 2017

PHềNG GD & ĐT LÂM THAO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mụn Toỏn - Lớp 6. Năm học 2016 – 2017
Thời gian: 90 phỳt 
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6 điểm)
Cõu 1- Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.
A. 30	B. 40	C. 45	D. 55
Cõu 2- Tổng của hai số tự nhiờn là 102. Nếu thờm chữ số 0 vào bờn phải số bộ rồi cộng với số lớn ta được tổng mới là 417. Khi đú số lớn là:
A. 43	B. 54	C. 60	D. 67 
Cõu 3- Kết quả của phộp tớnh 1 - 2 + 3 - 4 + 5 – 6 +  + 99 – 100 là:
A. 50	B. – 50	C. – 100 	D 0
Cõu 4- Tập hợp cỏc số nguyờn n để (n + 3) (n + 1) là:
A. {0; 1; -2; -3}	B. {0; 1}	C. {-2; -3}	D. {1; 2; -1; -2} 
Cõu 5- Cho 7 ụ liờn tiếp sau:
-13
a
-27
Biết rằng tổng ba ụ liờn tiếp bất kỳ luụn bằng 0. Khi đú giỏ trị của a là:
A. – 13 	B. – 27 	C. 13 	D. 27
Cõu 6- Cho 
Tỷ số là: 	 A. 	B. 	C. 	D. 	
Cõu 7- Trung bỡnh cộng của tử số và mẫu số của một phõn số là 68. Cộng thờm vào tử số của phõn số đú 4 đơn vị thỡ được phõn số mới bằng phõn số . Phõn số lỳc đầu là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Cõu 8- Trờn đường thẳng a lấy 3 điểm M, N, P sao cho: MN = 2cm, NP = 5cm. Khi đú độ dài đoạn thẳng MP bằng:
A. 3cm	B. 7cm	C. 3cm hoặc 7cm	D. 3,5cm
Cõu 9- Cho 100 điểm trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm vẽ một đường thẳng. Số đường thẳng vẽ được là:
A. 200	B. 4950	C. 5680	D. 9900
Cõu 10- Cho , tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy sao cho . 
Số đo là: 
A. 500	B. 1100	C. 500 hoặc 1100 	D. 800
Cõu 11- Cho , Oz là tia phõn giỏc của , Ot là tia phõn giỏc của . Số đo của là:
A. 200 	B. 400	C. 500	D. 600
Cõu 12- Cú 9 miếng bỏnh chưng cần rỏn vàng cả hai mặt. Thời gian rỏn mỗi mặt cần 3 phỳt. Nếu dựng một chiếc chảo mỗi lần chỉ rỏn được nhiều nhất 6 miếng thỡ cần thời gian ớt nhất là bao lõu để rỏn xong 9 miếng bỏnh chưng đú.
A. 9 phỳt	B. 12 phỳt	C. 18 phỳt	D. 27 phỳt
II. PHẦN TỰ LUẬN
Cõu 1- (4 điểm) 
a) Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a, b N). Chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 13.
b) Tỡm số nguyờn tố (a > b > 0) sao cho là số chớnh phương.
Cõu 2- (4 điểm) a) Cho M = (– a + b) – (b + c – a) + (c – a).Trong đú b, c Z cũn a là một số nguyờn õm Chứng minh rằng biểu thức M luụn luụn dương.
b) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn sao cho tổng của chỳng bằng tớch của chỳng.
Cõu 3- (4 điểm) Cho đoạn thẳng AB; điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm 
của OA, OB. a. Chứng tỏ rằng OA < OB. b. Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm cũn lại? 
 c . Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm O (O thuộc tia đối của tia 
AB).
Cõu 4- (2 điểm) 
	Tớnh giỏ trị biểu thức sau:
------- Hết -------
PHềNG GD & ĐT LÂM THAO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Mụn Toỏn - Lớp 6. Năm học 2016 – 2017
Thời gian: 90 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6 điểm)
( Thời gian làm bài 30 phỳt gồm 12 cõu, tổng 6 điểm, mỗi cõu 0,5 điểm. Mỗi cõu cú 4 phương ỏn trả lời và cú ớt nhất một phương ỏn đỳng ).
Cõu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ĐA
C
D
B
A
B
C
D
C
B
A
D
A
Cõu 6- 
II. PHẦN TỰ LUẬN (Thời gian làm bài 60 phỳt gồm 4 cõu, tổng 14 điểm)
Cõu
Đỏp ỏn
Điểm
1
a) 4b 13 10a + 40b 13 hay 10a + b + 39b 13
mà 39b 13 nờn 10a + b 13
2 điểm
b) {43; 73}
2 điểm
2
a) M = - a mà a là số nguyờn õm nờn M luụn luụn dương
2 điểm
b) x = 0, y = 0 hoặc x = 2; y = 2
2 điểm
3
a) Lập luận chứng tỏ được OA < OB.
1 điểm
b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm cũn lại?
Lập luận chứng tỏ OM < ON nờn điểm M nằm giữa hai điểm O và N
1 điểm
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).
 . Vỡ AB cú độ dài khụng đổi nờn MN cú độ dài khụng đổi
2 điểm
4
B = 15
2 điểm
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6
 HUYỆN THẠCH THÀNH	 MễN: TOÁN NĂM HỌC: 2016 – 2017
Cõu 1: (4,0 điểm).	1. Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau:
	a) A = 68.74 + 27.68 – 68 	b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}
	c) C = 	d) D = 
Cõu 2: (2,0 điểm). Tỡm số nguyờn x, biết:	a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7
	b) 
Cõu 3: (3,0 điểm)	a) Cho A = 3 + 32 + 33 + 34 +  + 390. Chứng minh rằng A chia hết cho 11 và 13
	b) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn x, y sao cho: xy – 2x + y + 1 = 0
Cõu 4: (4,0 điểm) a) Tỡm số tự nhiờn lớn nhất cú 3 chữ số, sao cho chia nú cho 8 thỡ dư 7 và chia nú cho 31 thỡ dư 28 .	b) Tỡm số nguyờn n để phõn số cú giỏ trị là một số nguyờn
Cõu 5: (5,0 điểm). Vẽ hai gúc kề bự xOy và zOy. Vẽ tia Om và tia On theo thứ tự là tia phõn giỏc của cỏc gúc xOy và gúc zOy. Vẽ tia Om' là tia đối của tia Om.
a) Tớnh số đo gúc mOn	b) Tớnh số đo của gúc kề bự với gúc yOm, biết 
c) Cần vẽ thờm bao nhiờu tia phõn biệt chung gốc O và khụng trựng với cỏc tia đó vẽ trong hỡnh để tạo thành 
tất cả 300 gúc.
Cõu 6: (2,0 điểm)a) Tỡm cỏc số tự nhiờn a và b thỏa món: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225
	b) Cho A = 	Chứng minh A 
ĐÁP ÁN
Cõu 1: (4,0 điểm).	1.	a) A = 68.74 + 27.68 – 68 = 68.(74 + 27 – 1) = 68.100 = 6800 
	b) B = 23.53 – 3.{539 – [639 – 8.(78 : 76 + 20170)]}	 B = 8.125 – 3.{539 – [639 – 8.(72 + 1)]}
	 B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.(49 + 1)]}	 B = 1000 – 3.{539 – [639 – 8.50]}
	 B = 1000 – 3.{539 – [639 – 400]}	 B = 1000 – 3.{539 – 239}
	 B = 1000 – 3.300	 B = 1000 – 900	 B = 100
	c) C = 	 C = 
	 C = 	 C = C = 0 + 1	 C = 1
	d) D = D = 
	 D = 	 D = 
	 D = D = 	 D = 
Cõu 2: a) 2016 : [25 – (3x + 2)] = 32.7 2016 : [25 – (3x + 2)] = 9.7
	 2016 : [25 – (3x + 2)] = 63 25 – (3x + 2) = 2016 : 63
 25 – (3x + 2) = 32 3x + 2 = 25 – 32 3x + 2 = – 7
 3x = – 9 x = – 3
	b) 
 x = 11
Cõu 3: a) A cú 90 số hạng mà 90 5 nờn:	A = 3 + 32 + 33 + 34 +  + 390
	A = (3 + 32 + 33 + 34 + 35) + (36 + 37 + 38 + 39 + 310) +  + (386 + 387 + 388 + 389 + 390) 
	A = 3.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) + 36.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) +  + 386.(1 + 3 + 32 + 33 + 34) 
	A = 3.121 + 36.121 +  + 386.121	A = 121(3 + 36 +  + 386)
	A = 11.11(3 + 36 +  + 386) 11 A 11	A cú 90 số hạng mà 90 3 nờn:
	A = 3 + 32 + 33 + 34 +  + 390	A = (3 + 32 + 33) + (34 + 35 + 36) +  + (388 + 389 + 390)
	A = 3.(1 + 3 + 32) + 34.(1 + 3 + 32) +  + 388.(1 + 3 + 32)
	A = 3.13 + 34.13 +  + 388.13	A = 13(3 + 34 +  + 388) 11 A 13
	b) Ta cú: xy – 2x + y + 1 = 0	 x(y – 2) + (y – 2) + 1 = – 2
	 (x + 1)(y – 2) = – 3 = 1. (– 3) = ( – 3).1	Ta cú bảng sau:
x + 1
1
– 3
y – 2
– 3
1
x
0
– 4
y
– 1
3
Cõu 4: a) Gọi số cần tỡm là a ()	Vỡ a chia cho 8 thỡ dư 7 và chia cho 31 thỡ dư 28 nờn: 
	Vỡ (8, 31) = 1 nờn a + 65 (8.31) hay a + 65 248 a = 248k – 65 (k N*). Vỡ a là số cú 3 chữ số lớn nhất nờn k = 4, khi đú a = 248.4 – 65 = 927.	Vậy số cần tỡm là 927
	b) Ta cú: = 
	Vỡ n nguyờn nờn để nguyờn thỡ nguyờn hay 2n – 1 Ư(7) = {–7; –1; 1; 7}
	 2n {– 6; 0; 2; 8} n {– 3; 0; 1; 4}
	Vậy với n {– 3; 0; 1; 4} thỡ cú giỏ trị là một số nguyờn
Cõu 5: (5,0 điểm). 	a) Vỡ kề bự với nờn: + = 1800
	Vỡ tia Om là tia phõn giỏc của nờn: 
	Vỡ tia On là tia phõn giỏc của nờn:	
	Vỡ kề bự với nờn tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz mà tia Om là tia phõn giỏc của và tia On là tia phõn giỏc của nờn tia Oy nằm giữa hai tia Om và On, khi đú:
	 + = + = 
 = = = 900
	b) Vỡ hai tia Om và Om' đối nhau, khi đú kề bự với 
	 + = 1800 300 + = 1800 = 1500
	Vỡ hai tia Ox và Oz đối nhau, khi đú kề bự với 
	 + = 1800 1500 + = 1800 = 300
	Vỡ tia Om là tia phõn giỏc của nờn: = 300
	Vỡ hai tia Om và Om' đối nhau, khi đú kề bự với 
	 + = 1800 300 + = 1800 = 1500
	c) Giả sử cần vẽ thờm n tia phõn biệt chung gốc O và khụng trựng với cỏc tia đó vẽ trong hỡnh để tạo thành tất cả 300 gúc.	Khi đú tổng số tia gốc O trờn hỡnh là n + 6
	Cứ 1 tia gốc O tạo với n + 5 tia gốc O cũn lại thành n + 5 gúc, mà cú n + 6 tia như vậy nờn tạo thành:	 (n + 5)(n + 6) gúc
	Vỡ tia này tạo với kia và ngược lại nờn mỗi gúc được tớnh hai lần, suy ra số gúc tạo thành là:
	 gúc Vỡ cú 300 gúc được tạo thành nờn: = 300 
 (n + 5)(n + 6) = 600 = 24.25	 n + 5 = 24 n = 19
Cõu 6: a) Ta cú: (100a + 3b + 1)(2a + 10a + b) = 225 (1) vỡ 225 lẻ nờn cựng lẻ (2)
*) Với a = 0:	(1) (100.0 + 3b + 1)(20 + 10.0 + b) = 225 (3b + 1)(1 + b) = 225 = 32.52 
	Vỡ 3b + 1 chia cho 3 dư 1 và 3b + 1 > 1 + b nờn: (3b + 1)(1 + b) = 25.9 
*) Với a là số tự nhiờn khỏc 0: Khi đú 100a chẵn, từ (2) 3b + 1 lẻ b chẵn 2a + 10a + b chẵn, trỏi với (2) nờn b 	Vậy: a = 0 ; b = 8
	b) Ta cú: 	A = 
A = 	A = 
A = 	A < 
A < 	A < 	A < A < 
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN GIA VIỄN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6 THCS
NĂM HỌC 2016- 2017
Cõu 1: (4,5 điểm). Thực hiện cỏc phộp tớnh sau: a. 
b. 
c. 
Cõu 2: (4,5 điểm)Tỡm số tự nhiờn x, biết: a. b. 
c. Tỡm số nguyờn n để: chia hết cho 
Cõu 3: (4,0 điểm) a. Cần dựng tất cả bao nhiờu chữ số để đỏnh số trang của quyển sỏch dày 199 trang? (bắt đầu từ trang số 1)
b. Tỡm cỏc chữ số x; y để chia hết cho 2; 5 và 9 đều dư 1
Cõu 4: (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 7cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trờn tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ là đường thẳng AB, vẽ cỏc tia Ax, Ay sao cho . a.Tớnh BN khi BM = 2cm?	b. Chứng tỏ rằng: Ay là tia phõn giỏc của 
c. Xỏc định vị trớ của điểm M trờn đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN cú độ dài lớn nhất. Tỡm giỏ trị lớn nhất của BN khi đú.
Cõu 5: (1,0 điểm)Tỡm số dư trong phộp chia khi chia một số tự nhiờn cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiờn dố chia cho 7 thỡ được số dư là 5 và chia cho 13 thỡ được số dư là 4
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2016-2017 MễN THI : TOÁN 6
Thời gian làm bài: 120 phỳt.
Bài 1: (6,0 điểm).Tớnh nhanh: 	a) A = 
b) B = (-528) + (-12) + (-211) + 540 + 2225 	c) M = 
d) D = e) So sỏnh: N = và M = 
Bài 2: (3,0 điểm) Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399.
a) Chứng minh rằng S là bội của -20. b) Tớnh S, từ đú suy ra 3100 chia cho 4 dư 1.
Bài 3: (5,0 điểm).
Tỡm hai số tự nhiờn biết tổng của chỳng bằng 504 và ƯCLN của chỳng bằng 42
 Tỡm a để a + 1 là bội của a – 1
Cho K = 1028 + 8. Chứng minh rằng K chia hết cho 72
Bài 4: (4,0 điểm). Trờn đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ cỏc tia OB, OC sao cho: gúc MOC = 1150; gúc BOC = 700. Trờn nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD (D khụng cựng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) sao cho gúc AOD = 450.
a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC khụng? vỡ sao?
b) Tớnh gúc MOB và gúc AOC ?
c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng.
Bài 5: (2,0 điểm). Trong một cuộc thi có 50 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 20 điểm, còn trả lời sai bị trừ 15 điểm. Một học sinh được tất cả 650 điểm. Hỏi bạn đó trả lời được mấy câu đúng ?
 (Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh bỏ tỳi)
Bài 1 (6,0 điểm)
A = = 
= 3.
2đ
 b) B = (-528) + (-12) +(-211)+ 540+2225
 B = (-528+(-12)+540)+(-211+211)+2014. Vậy B = 2014
2.0đ
c) M = 
- Đặt A = 1+3+32+33 + ...+32012 - Tớnh được A = 32013 – 1
1.0 đ
- Đặt B = 32014 – 3
- Tớnh được B = 3.(32013 – 1)
0.5đ
- Tớnh được M = 
0.5đ
Bài 2
3 điểm
 Tổng S cú 100 số hạng chia thành 25 nhúm , mỗi nhúm cú 4 số hạng :
 S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399
 = (1 – 3 + 32 – 33) + (34 – 35 + 36 – 37) +...+(396 – 397 + 398 – 399) 
1 đ
= ( - 20 ) + 34( - 20 ) +...+ 396( - 20 ) -20 Vậy S -20
1 đ)
b) S= 1 – 3 + 32 – 33 + ... + 398 – 399
 3S = 3 – 32 + 33 – 34 +...+399 – 3100 
0.5 đ
Cộng từng vế của 2 đẳng thức ta được : 
 3S + S = ( 3+1 ) S = 4S = S là một số nguyờn nờn 1 – 3100 4 hay 3100 – 1 4 3100 chia cho 4 dư 1 	
0.5đ
Bài 3a) gọi a,b là hai số cần tỡm a, b N*,a>b, a = 42a’, b =42b’ trong đú a’, b’ N* [a’,b’]=1 vỡ a>b nờn a’>b’
0.5đ
a+b=504 suy ra a’+b’ = 12 cú cỏc cặp a’,b’ thỏa món là (11;1);(7;5)
suy ra cỏc cặp số thảo man bài toỏn là (462;42); (294;210)
0.5đ
 b) Để a +1 là bội của a -1 nờn thỡ là số nguyờn
a -1 = {-1,1,2} nờn a ={0,2,3}
c) Lập luận được K chia hết cho 9 vỡ tổng cỏc chữ số là 9 và chia hết cho 8 vỡ ba chữ số tận cựng là 008. Vậy K chia hết cho 72
2 đ
2 đ
Bài 4
4 điểm
A
C
B
D
O
a) Nếu OB nằm giữa 2 tia OA, OC thỡ ta cú :
 = 1850 > 1800 (vụ lý)
M
Vậy OB nằm giữa 2 tia OM, OC.
1.0đ
b) Do tia OB nằm giữa 2 tia OM, OC nờn :
0.5đ
 = 1150 - 700 = 450
0.5đ
Hai gúc là 2 gúc kề bự nờn := 1800
0.5đ
c) Hai gúc và là 2 gúc kề bự 
 =1800- 450 = 1350
0.5đ
Hai gúc là gúc cú cạnh chung OA. Cũn 2 cạnh OD, OB nằm trong 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AM nờn : 
= 450 + 1350 = 1800 OD, OB là 2 tia đối nhau. D, O, B thẳng hàng.
0.5đ
Bài 5. Nếu bạn đó trả lời được 50 câu thì tổng số điểm là 50 x 20 = 1.000 (điểm)
 Nhưng bạn chỉ được 650 điểm còn thiếu 1.000 – 650 = 350 (điểm). Thiếu 350 điểm vì trong số 50 câu bạn đã trả lời sai một số câu. Giữa câu trả lời đúng và trả lời sai chênh lệch nhau 20 + 15 = 35(điểm). Do đó câu trả lời sai của bạn là 350:35 =10 (câu)
 Vậy số câu bạn đã trả lời đúng là 50 – 10 = 40 (câu)
2
Ubnd huyện vũ th
phòng GIáo Dục & ĐàO Tạo
Đề khảo sát chọn học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2015 - 2016
Bài 1 (4 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau:
 1) 
 2) 
Bài 2 ( 4 điểm): 1) Cho 
Chứng minh rằng Cchia hết 21 và C chia hết 105
2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc tự nhiờn là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
Bài 3 ( 4 điểm):1) Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì đợc d là 4.
2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) biết:	
Bài 4 (2 điểm): Cho và Tính tỉ số: 
Bài 5 ( 4 điểm): Cho tam giác ABC có . Điểm E nằm giữa B và C sao cho . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho , tia Ax cắt BC ở F.
 a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của .
 b) Gọi AI là tia phân giác của . Chứng minh AI cũng là tia phân giác của .
Bài 6 (2 điểm): Cho biểu thức: 
So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3.....n; 
Bài
ý
Nội dung
Điểm
Bài 1
(4 điểm)
1
2,0 điểm
Ta có tổng A có 2016 số hạng nên có 2016 : 4 = 504 nhóm
0,5
0,25
A = 4 + 4 + 4 + .. + 4 (tổng có 504 số 4)
0,5
A = 4. 504
0,25
A = 2016
0,5
Vậy A = 2016
2
2,0 điểm
0,5
0,5
Ta thấy tích B có 99 thừa số âm nên tích mang dấu âm
0,5
0,5
B = - 25
Vậy B = - 25
Bài 2 (4điểm)
1
Cho 
Chứng minh rằng C 21 và C 105
2,0
điểm
Chứng minh C 21
0,75
Ta có:
Do đó: 
0,25
0,25
0,25
Chứng minh C 105
1,25 điểm
Chứng minh C 5
0,75
Do đó: 
0,25
0,25
0,25
Ta có và mà (5 ; 21 ) = 1
Do đó hay 
0,5
2
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
2,0 điểm
Gọi số tự nhiên đó là P (P 0)
Nếu P = 1 ta có 1 = 12 P là số chính phơng
0,5 
Nếu P > 1. Phân tích P ra thừa số nguyên tố ta có P = 
(với a, b, ... , c là các số nguyên tố)
Khi đó số lợng các ớc của P là (x + 1).(y + 1).....(z + 1)
Theo bài ra (x + 1).(y + 1).....(z + 1) là số lẻ
 x + 1 , y + 1 , ... , z + 1 đều là các số lẻ
 x, y , ... , z đều là các số chẵn
Do đó x = 2.m ; y = 2.n ; ... ; z = 2.t
Nên P = 
 P là số chính phơng
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Vậy chứng tỏ với mọi số tự nhiên khác 0, có số lợng các ớc là một số lẻ thì số tự nhiên đó là một số chính phơng.
0,25
Bài 3
(4điểm)
1
Tìm số d trong phép chia khi chia một số tự nhiên cho 91. Biết rằng nếu lấy số tự nhiên đó chia cho 7 thì đợc d là 5 và chia cho 13 thì đợc d là 4.
2,0 điểm
Gọi số tự nhiên đó là a
Theo bài ra ta có: a = 7.p + 5 và a = 13.q + 4 (với p, q N )
Suy ra: a + 9 = 7.p + 14 = 7.(p + 2) 7
 a + 9 = 13.q + 13 = 13.(q + 1) 13
0,25
0,5
Ta có a + 9 7 và a+ 9 13 mà (7 ; 13) = 1
Do đó a + 9 7. 13 hay a + 9 91
0,5
Vậy a + 9 = 91.k (với k N )
 a = 91.k – 9 = 91.k – 91 + 82 = 91.(k-1) + 82
0,5
Nên a chia cho 91 có số d là 82.
0,25
2
Tìm các cặp số nguyên (x; y) biết: 
2,0 điểm
Ta có: 
0,5
 = 1.5 = - 5 . (-1) = - 1 . (-5)
Nên ta có bảng sau
0,25
x + 5
5
1
-5
-1
y-1
1
5
-1
-5
x
0
-4
-10
-6
y
2
6
0
-4
0,75
Vậy các cặp số nguyên (x;y) là: (0;2) ; (- 4; 6) ; (- 10; 0) ; (- 6;- 4)
0,5
Bài 4
2 điểm
Cho và 
Tính tỉ số: 
2,0 điểm
1
Ta có 
0,75 
0,75
2
Ta có 
Vậy tỉ số 
0,5
Bài 5
4 điểm
Cho tam giác ABC có góc BAC = 1200 . Điểm E nằm giữa B và C sao cho góc BAE = 300 . Trên mặt phẳng có bờ AC chứa điểm B kẻ tia Ax sao cho góc CAx = 300, tia Ax cắt BC ở F.
a) Chứng minh F nằm giữa E và C. Tính số đo của góc EAF.
c) Gọi AI là tia phân giác của góc BAC. Chứng minh AI cũng là tia phân giác của góc EAF.
x
B
I
300
A
300
F
E
C
1
2,0
điểm
Theo bài ra ta có điểm E nằm giữa hai điểm B và C
Nên tia AE nằm giữa hai tia AB và AC
Ta có: góc BAE + góc EAC = góc BAC
 300 + góc EAC = 1200
 góc EAC = 1200 – 300 = 900
Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Ta có: góc CAF = 300 
 góc CAE = 900
 góc CAF < góc CAE (vì 300 < 900)
Do đó tia AF nằm giữa hai tia AC và AE
Vậy điểm F nằm giữa hai điểm C và E
0,75
0,5
0,25
 góc CAF + góc FAE = góc CAE
 300 + góc FAE = 900
 góc FAE = 600 
0,5
2
2,0
điểm
Ta có: AI là tia phân giác của góc BAC
Nên góc BAI = góc CAI = 
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B
Có góc CAF < góc CAI (vì 300 < 600)
Suy ra tia AF nằm giữa hai tia AC và AI
 góc CAF + góc FAI = góc CAI
 300 + góc FAI = 600
 góc FAI = 300
*) Xét nửa mặt phẳng bờ AF có chứa điểm B
Ta có: góc FAE = 600 và góc FAI = 300
 góc FAI < góc FAE (vì 300 < 600)
Tia AI nằm giữa hai tia AF và AE
Hơn nữa góc FAI = góc FAE (vì )
Do đó AI là phân giác của góc FAE.
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 6 
2 điểm
Cho biểu thức 
So sánh D với 6. Biết n! = 1.2.3..n
2,0
điểm
Ta có 
Ta thấy 
Do đó 
Vậy D < 6
0,5
0,5
0,5
0,5
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI
PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2015-2016
Bài 1: (1,0điểm) Thực hiện phộp tớnh (tớnh hợp lý nếu cú thể)
 a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16	 b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78: 76 +70)]}
Bài 2: (1,0điểm) M cú là một số chớnh phương khụng nếu: M = 1 + 3 + 5 ++ (2n-1) (Với n N , n 0)
Bài 3:(1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990) 2 b / Tổng của 4 số tự nhiờn liờn tiếp khụng chia hết cho 4 
Bài 4: (1,0điểm) So sỏnh A và B biết: A = , B = 
Bài 5: (2,0điểm) Tớm tất cả cỏc số nguyờn n để: a) Phõn số cú giỏ trị là một số nguyờn
 b) Phõn số là phõn số tối giản
Bài 6: (2,5điểm) Cho gúc xBy = 550.Trờn cỏc tia Bx, By lần lượt lấy cỏc điểm A, C (A B, CB). Trờn đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho gúc ABD = 300 
 a/ Tớnh độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm	 b/ Tớnh số đo gúc DBC
 c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho gúc DBz = 900. Tớnh số đo ABz. 
Bài 7: (1,0điểm) Tỡm cỏc cặp số tự nhiờn x , y sao cho: (2x + 1)(y – 5) = 12
---------- HẾT ----------
 Bài 1: (1,0 điểm)
í/Phần
Đỏp ỏn
Điểm
a
 = 16(123+ 321 - 44):16 
0,25
 = 400 
0,25
b
 =8.125-3.{400-[673-8.50]} 
0,25
 = 1000-3.{400-273} 
 =619	
0,25
Bài 2: (1,0 điểm)
í/Phần
Đỏp ỏn
Điểm
 M = 1 + 3 + 5 ++ (2n-1) (Với n N , n 0) 
Tớnh số số hạng = (2n-1-1): 2 + 1 = n 
0,5
Tớnh tổng = (2n-1+1) n: 2 = 2n2: 2 = n 2 
KL: M là số chớnh phương 
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm)
í/Phần
Đỏp ỏn
Điểm
a
 Ta cú: 
 3100 = 3.3.3.3 (cú 100 thừa số 3)
 = (34)25 = 8125 cú chữ số tận cựng bằng 1 
 19990 = 19.1919 (cú 990 thứa số 19) 
 = (192)495 = 361495 (cú chữ số tận cựng bằng 1 
 Vậy 3100+19990 cú chữ số tận cựng bằng 2 nờn tổng này chia hết cho 2 
0,25
0,25
0,5
b
 Gọi 4 số tự nhiờn liờn tiếp là: a; (a +1);(a + 2);(a + 3); (a) 
 Ta cú: a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 
 Vỡ 4a 4; 6 khụng chia hết 4 nờn 4a+ 6 khụng chia hết 4 
0,25
0,25
Bài 4: (1,0 điểm)
í/Phần
Đỏp ỏn
Điểm
 Vỡ A = < 1 A= < = = = B
 Vậy A < B
0,75
0,25
Bài 5: (2,0 điểm)
í/Phần
Đỏp ỏn
Điểm
a
 là số nguyờn khi (n+1) (n-2)
 Ta cú (n+1) = 	
 Vậy (n+1) (n-2) khi 3(n-2)	 
 (n-2) Ư(3) = 	
 => n 
0.5
0,5
b
 Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 (dN*) 
0,25
 (60n+5-60n-4) d 1 d mà dN* d = 1 
0,5đ
 Vậy phõn số đó cho tối giản 
0,25
Bài 6: (2,5 điểm)
í/Phần
Đỏp ỏn
Điểm
a
b
 Vẽ hỡnh đỳng
 TH1 TH2
Vỡ D thuộc đoạn thẳng AC nờn D nằm giữa A và C:
 AC= AD + CD = 4+3 = 7 cm
Chứng minh được tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 
Ta cú đẳng thức: ABC =