Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn: Toán học 11

Trần Lê Quyền
(Tổng hợp và trình bày LATEX)
Hình 9 - Tứ giác
−→ trà giảm cân ←−
Nhận đánh máy LATEX tài liệu, bài giảng, tiểu luận,
luận văn. . . theo yêu cầu
Liên hệ:
\ Thầy Quyền - Quận 6, TP HCM - 0122 667 8435
\ Page: Casiotuduy - https://www.facebook.com/casiotuduy
\ Mua trà giảm cân của Học Viện Quân Y - 0979 118 113 (free ship)
Tháng 12 năm 2016
Chương 1
Tứ giác
1.1 Sử dụng tính chất về các góc của một tứ giác để tính góc
Bài 1. Cho tứ giác ABCD có B̂ = 120◦, Ĉ = 60◦, D̂ = 90◦. Tính góc A và góc ngoài
tại đỉnh A.
Bài 2. Cho tứ giác ABCD có AB = AD,CB = CD, Ĉ = 60◦, Â = 100◦.
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.
b) Tính B̂, D̂.
Bài 3. Cho tứ giác ABCD có phân giác trong của góc A và góc B cắt nhau tại E,
phân giác ngoài của góc A và góc B cắt nhau tại F . Chứng minh:
ÂEB =
Ĉ + D̂
2
, ÂFB =
 + B̂
2
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có B̂ + D̂ = 180◦, CB = CD. Trên tia đối của tia DA lấy
điểm E sao cho DE = AB. Chứng minh:
a) Các tam giác ABC và EDC bằng nhau.
b) AC là phân giác của góc A.
Bài 5. Cho tứ giác ABCD biết số đo của các góc Â, B̂, Ĉ, D̂ tỉ lệ thuận với 5; 8; 13
và 10.
a) Tính số đo các góc của tứ giác ABCD.
b) Kéo dài hai cạnh AB và DC cắt nhau ở E, kéo dài hai cạnh AD và BC cắt
nhau ở F . Hai tia phân giác của các góc ÂED và góc ÂFB cắt nhau ở O. Phân
giác của ÂFB cắt các cạnh CD và AB tại M và N . Chứng minh O là trung
điểm của đoạn MN .
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có B̂ = D̂ = 180◦, AC là tia phân giác của góc A. Chứng
minh CB = CD.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có Â = a, Ĉ = b. Hai đường thẳng AD và BC cắt nhau
tại E, hai đường thẳng AB và DC cắt nhau tại F . Các tia phân giác của hai góc
ÂEB và ÂFD cắt nhau tại I. Tính góc ÊIF theo a và b.
1
GV. Trần Lê Quyền
1.2 Sử dụng bất đẳng thức tam giác để giải các bài toán liên hệ
đến các cạnh của một tứ giác
Bài 8. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:
a) AB < BC + CD + AD.
b) AC + BD < AB + BC + CD + AD.
Bài 9. Cho tứ giác ABCD có AB + BD < AC + CD . Chứng minh: AB < AC.
Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh:
AB + BC + CD + AD
2
< OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + AD.
b) Khi O là điểm bất kì thuộc miền trong của tứ giác ABCD, kết luận trên có
đúng không?
Bài 11. Chứng minh rằng trong một tứ giác thì:
a) Tổng độ dài 2 cạnh đối diện nhỏ hơn tổng độ dài hai đường chéo.
b) Tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.
1.3 Hình thang - Hình thang vuông
1) Định nghĩa:
• Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
• Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông.
2) Tính chất:
• Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng
nhau, hai cạnh đáy bằng nhau.
• Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song
song và bằng nhau.
1.3.1 Tính chất các góc của một hình thang
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD) có Â − D̂ = 20◦, B̂ = 2Ĉ. Tính các góc
của hình thang.
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD) có AB < CD,AD = BC = AB, B̂DC =
30◦. Tính các góc của hình thang.
https://www.facebook.com/casiotuduy 2 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD) có AB 
Ĉ + D̂.
Bài 4. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD). Hai đường phân giác của  và B̂ cắt
nhau tại điểm K thuộc đáy CD. Chứng minh AD + BC = DC.
Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD).
a) Chứng minh rằng nếu hai tia phân giác của hai góc A và D cùng đi qua trung
điểm F của cạnh bên BC thì cạnh bên AD bằng tổng hai đáy.
b) Chứng minh rằng nếu AD = AB + CD thì hai tia phân giác của hai góc A và
D cắt nhau tại trung điểm của cạnh bên BC.
Bài 6. Cho hình thang ABCD có Â = B̂ = 90◦ và BC = AB = AD2 . Lấy điểm M
thuộc đáy nhỏ BC. Kẻ Mx ⊥ MA,Mx cắt CD tại N . Chứng minh rằng tam giác
AMN vuông cân.
1.3.2 Chứng minh một tứ giác là hình thang, hình thang vuông
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có AB = BC và AC là tia phân giác của góc A. Chứng
minh ABCD là hình thang.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho
AM =
BC
2
, N là trung điểm cạnh AB. Chứng minh:
a) Tam giác AMB cân.
b) Tứ giác MNAC là hình thang vuông.
Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, từ H kẻ HD ⊥ AC,HE ⊥
AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HB,HC. Chứng minh tứ
giác DEMN là hình thang vuông.
1.4 Hình thang cân
1) Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
2) Tính chất: Trong hình thang cân:
• Hai cạnh bên bằng nhau.
• Hai đường chéo bằng nhau.
3) Dấu hiệu nhận biết:
• Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
• Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
https://www.facebook.com/casiotuduy 3 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
1.4.1 Sử dụng tính chất của hình thang cân để tính toán và chứng minh
Bài 1. Cho hình thang cân ABCD (AB ‖ CD,AB < CD). Kẻ các đường cao AE,BF
của hình thang. Chứng minh rằng DE = CF .
Bài 2. Cho hình thang cân ABCD (AB ‖ CD).
a) Chứng minh: ÂCD = B̂DC.
b) Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: EA = EB.
Bài 3. Cho hình thang cân ABCD (AB ‖ CD,AB > CD) có CD = a, Â+ B̂ = Ĉ+D̂2 .
Đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC.
a) Tính các góc của hình thang.
b) Chứng minh AC là phân giác của D̂AB.
c) Tính diện tích của hình thang.
Bài 4. Cho hình thang cân ABCD (AB ‖ CD) có B̂DC = 45◦. Gọi O là giao điểm
của AC và BD.
a) Chứng minh tam giác DOC vuông cân.
b) Tính diện tích của hình thang ABCD, biết BD = 6.
1.4.2 Chứng minh một tứ giác là hình thang cân
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BD,CE (D ∈ AC,E ∈
AB). Chứng minh rằng BEDC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Bài 6. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD) có ÂCD = B̂DC. Chứng minh rằng
ABCD là hình thang cân.
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB,AC lấy lần lượt các điểm
D và E sao cho AD = AE.
1) Chứng minh BDEC là hình thang cân.
2) Tính các góc của hình thang cân đó, biết  = 50◦.
Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD) có AC = BD. Qua B kẻ đường thẳng
song song với AC cắt đường thẳng DC tại E. Chứng minh rằng:
1) Tam giác BDE là tam giác cân.
2) Các tam giác ACD và BDC bằng nhau.
3) ABCD là hình thang cân.
https://www.facebook.com/casiotuduy 4 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
Bài 9. Cho tam giác đều ABC và điểm M thuộc miền trong của tam giác. Qua M
kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB ở D, đường thẳng song song với AC cắt
BC ở E, đường thẳng song song với AB cắt AC ở F . Chứng minh rằng:
1) Các tứ giác BDME,CFME,ADMF là các hình thang cân.
2) Chu vi của tam giác DEF bằng tổng các khoảng cách từ M đến các đỉnh của
tam giác ABC.
3) D̂ME = D̂MF = ÊMF.
Bài 10. Cho hình thang ABCD (AD ‖ BC,AD > BC) có đường chéo AC vuông góc
với cạnh bên CD, B̂AC = ĈAD và D̂ = 60◦.
1) Chứng minh ABCD là hình thang cân.
2) Tính độ dài cạnh đáy AD, biết chu vi hình thang bằng 20 cm.
Bài 11. Cho hình thang vuông ABCD, có Â = B̂ = 90◦ và AD = 2BC. Kẻ AH
vuông góc với BD (H ∈ BD). Gọi I là trung điểm của HD, chứng minh CI ⊥ AI.
1.5 Đường trung bình của tam giác, hình thang
1) Đường trung bình của tam giác:
• Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh
của tam giác.
• Nếu một đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh
thứ hai của tam giác thì nó đi qua trung điểm cạnh thứ ba.
• Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa
cạnh ấy.
2) Đường trung bình của hình thang
• Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh
bên của hình thang.
https://www.facebook.com/casiotuduy 5 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
• Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song
song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.
• Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa
tổng hai đáy.
Bài 1. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM . Trên cạnh AB, lấy hai điểm D,E sao
cho AD = DE = EB. Gọi I là giao điểm của AM với CD. Chứng minh AI = IM .
Bài 2. Cho tam giác ABC và hai đường trung tuyến BD,CE cắt nhau tại G. Gọi
M,N lần lượt là trung điểm của BG,CG. Chứng minh tứ giác MNDE có các cặp
cạnh đối song song và bằng nhau.
Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho A là trung điểm BD.
Trên tia CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm CE. Hai đường thẳng AC và DE
cắt nhau tại I. Chứng minh DI = DE3 .
Bài 4. Cho tứ giác ABCD có góc Ĉ = 40◦, D̂ = 80◦, AD = BC. Gọi E,F theo thứ
tự là trung điểm của AB và CD. Tính góc nhọn tạo bởi đường thẳng FE với các
đường thẳng AD và BC.
Bài 5. Cho A,B,C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d (AB > BC). Trên cùng nửa
mặt phẳng bờ là d, vẽ các tam giác đều AMB và BNC. Gọi P,Q,R, S lần lượt là
trung điểm của BM,CM,BN,AN . Chứng minh rằng:
1) PQRS là hình thang cân.
2) SQ = MN2 .
Bài 6. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm của AM,D là giao
điểm của BI và AC.
1) Chứng minh AD = DC2
2) So sánh độ dài BD và ID.
Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD). Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng AD,BC,AC,BD.
1) Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q nằm trên một đường thẳng.
2) Tính MN,PQ, biết các cạnh đáy của hình thang AB = a, CD = b (a > 0).
https://www.facebook.com/casiotuduy 6 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
3) Chứng minh rằng nếu MP = PQ = QN thì a = 2b.
Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD). Gọi E,F,K lần lượt là trung điểm của
AD,BC,BD. Chứng minh ba điểm E,K, F thẳng hàng.
Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB ‖ CD). Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD
và BC. Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.
1) Chứng minh AK = KC,BI = ID.
2) Cho AB = 6, CD = 10. Tính EI,KF, IK.
Bài 10. Cho tứ giác ABCD, gọi E,F,K lần lượt là trung điểm của AD,BC,AC.
1) So sánh độ dài các đoạn thẳng EK và CD, KF và AB.
2) Chứng minh EF ≤ AB+CD2
3) Khi EF = AB+CD2 thì tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 11. Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các đường
chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao bằng 10 cm.
Bài 12. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d đi qua G cắt các đoạn
thẳng AB,AC. Gọi A′, B′.C ′ thứ tự là hình chiếu của A,B,C trên d. Tìm liên hệ
giữa các độ dài AA′, BB′, CC ′.
Bài 13. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d nằm ngoài tam giác
ABC. Gọi A′, B′, C ′, G′ thứ tự là hình chiếu của A,B,C,G trên d. Tìm liên hệ giữa
các độ dài AA′, BB′, CC ′, GG′.
1.6 Đối xứng trục
Bài 14. Cho góc x̂Oy = 50◦ và điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với
A qua Ox, điểm C đối xứng với A qua Oy .
1) So sánh các độ dài OB và OC.
2) Tính số đo góc B̂OC.
Bài 15. Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H. Gọi K là điểm đối xứng với H qua
BC.
1) Chứng minh hai tam giác BHC và BKC bằng nhau.
2) Cho B̂AC = 70◦ . Tính số đo góc B̂KC.
Bài 16. Cho hình thang vuông ABCD (Â = D̂ = 90◦). Gọi K là điểm đối xứng với
B qua AD, E là giao điểm của CK và AD. Chứng minh ĈED = ÂEB.
https://www.facebook.com/casiotuduy 7 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I,K lần lượt là điểm
đối xứng với điểm H qua các cạnh AB,AC. Chứng minh rằng:
1) Ba điểm I, A,K thẳng hàng.
2) Tứ giác BIKC là hình thang.
3) IK = 2AH.
Bài 18. Cho tam giác ABC, các phân giác BM và CN cắt nhau tại I. Từ A vẽ các
đường vuông góc với BM và CN , chúng cắt BC thứ tự ở E và F . Gọi I ′ là hình
chiếu của I trên BC. Chứng minh rằng E và F đối xứng nhau qua II ′.
Bài 19. Cho hai điểm A,B nằm trong một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.
Tìm điểm M ∈ d sao cho MA + MB ngắn nhất.
Bài 20. Cho góc x̂Oy = 60◦ và điểm A nằm trong góc đó. Gọi B,C lần lượt là hai
điểm đối xứng với điểm A qua Ox,Oy.
1) Chứng minh tam giác BOC là tam giác cân. Tính các góc của tam giác đó.
2) Tìm điểm I ∈ Ox và điểm K ∈ Oy sao cho tam giác AIK có chu vi nhỏ nhất.
Bài 21. Cho tam giác ABC có Cx là phân giác ngoài của Ĉ. Trên Cx lấy điểm M
(khác C). Chứng minh MA + MB > CA + CB.
Bài 22. Cho góc nhọn x̂Oy và điểm A ở trong góc đó . Tìm điểm B ở trên tia Ox
và điểm C ở trên tia Oy sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.
1.7 Hình bình hành
1) Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.
2) Tính chất: Trong một hình bình hành,
• Các góc đối bằng nhau.
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
3) Dấu hiệu nhận biết:
• Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
• Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình
bình hành.
https://www.facebook.com/casiotuduy 8 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
1.7.1 Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình
học
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD,F là trung điểm
của BC.
1) Chứng minh BE = DF và ÂBE = ĈDF .
2) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành.
3) Chứng minh các đường thẳng EF,DB và AC đồng qui.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở
E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F .
1) Chứng minh DE ‖ BF .
2) Tứ giác DEBF là hình gì?
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB và CD; M và N là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh rằng:
1) AI ‖ CK.
2) DM = MN = NB.
1.7.2 Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình
hành
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH ⊥ BD ở H, CK ⊥ BD ở K. Chứng minh
tứ giác AHCK là hình bình hành.
Bài 5. Cho tam giác ABC, các trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G. Gọi P là
điểm đối xứng của điểm M qua G. Gọi Q là điểm đối xứng của điểm N qua G. Tứ
giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
Bài 6. Cho tứ giác ABCD có E là trung điểm của AB, F là trung điểm CD. Gọi
M,N,P,Q theo thứ tự là trung điểm của AF,CE,BF,DE. Chứng minh tứ giác
MNPQ là hình bình hành.
Bài 7. Cho tứ giác ABCD, AB cắt CD tại E,AD cắt BC tại F . Gọi M,N,P,Q lần
lượt là trung điểm của AE,EC,CF, FA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình
hành.
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD.
Qua điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD,BC lần lượt tại E,F . Vẽ
đường thẳng b cắt hai cạnh AB,CD lần lượt tại K,H. Chứng minh tứ giác EKFH
là hình bình hành.
https://www.facebook.com/casiotuduy 9 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
Bài 9. Cho tứ giác ABCD, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB,BC,CD,DA và I,K theo thứ tự là trung điểm các đường chéo AC,BD. Chứng
minh rằng:
a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là các hình bình hành.
b) Các đường thẳng MP,NQ, IK đồng qui.
Bài 10. Cho tam giác ABC có H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB
tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D.
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
b) Tính B̂DC, biết B̂AC = 60◦.
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB.
Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF ⊥ CE, MF cắt BC tại N .
a) Tứ giác MNCD là hình gì?
b) Tam giác EMC là tam giác gì?
c) Chứng minh B̂AD = 2ÂEM .
Bài 12. Cho hình thang ABCD, gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB,BC,CD,DA.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?
b) Tìm điều kiện của hình thang ABCD để MNPQ lần lượt là: hình thoi, hình
chữ nhật, hình vuông.
Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Gọi D và E theo
thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB,AC.
a) Chứng minh AH = DE.
b) Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của HB và HC. Chứng minh tứ giác
DIKE là hình thang vuông.
c) Tính độ dài đường trung bình của hình thang DIKE nếu biết AB = 6 cm, AC =
8 cm.
1.7.3 BT tổng hợp hình bình hành
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, lấy hai điểm E,F theo thứ tự thuộc AB và
CD sao cho AE = CF . Lấy hai điểm M,N theo thứ tự thuộc BC và AD sao cho
CM = AN . Chứng minh rằng
a) MENF là hình bình hành.
https://www.facebook.com/casiotuduy 10 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
b) Các đường thẳng AC,BD,MN,EF đồng quy.
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD .E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba đường thẳng AC,BD,EF đồng qui.
c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N . Chứng minh tứ
giác EMFN là hình bình hành.
Bài 3. Cho tam giác ABC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,AC. Gọi H là
điểm đối xứng của N qua M . Chứng minh tứ giác BNCH và ABHN là hình bình
hành.
Bài 4. Cho hình bình hành ABCD với E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh ba đường thẳng AC,BD,EF đồng qui.
c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N . Chứng minh tứ
giác EMFN là hình bình hành.
Bài 5. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho BD = BC = CE. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB
cắt AC ở H, qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ở K, chúng cắt nhau
ở I.
a) Tứ giác BHKC là hình gì? Vì sao?
b) Tia IA cắt BC ở M , chứng minh MB = MC.
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác DHKE là hình thang cân.
Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Từ B kẻ đường thẳng cắt cạnh CD tại M (M
nằm giữa C và D). Từ D kẻ đường thẳng cắt cạnh CB tại điểm N (N nằm giữa B
và C); BM và DN cắt nhau tại I . Cho biết BM = ND,
a) Chứng minh SABM = SAND.
b) Chứng minh IA là phân giác của B̂ID.
Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi P,Q,R, S lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB,BC,CD,DA. Nối AQ và RB cắt nhau ở điểm I; nối AQ và DP cắt nhau
ở K; CS cắt DP ở N và CS cắt RB ở M .
a) Chứng minh tứ giác MNIK là hình bình hành.
b) Chứng minh KI = 25 .AQ,KN =
2
5 .DP
https://www.facebook.com/casiotuduy 11 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
c) Chứng minh SMNKI =
1
5 .SABCD.
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD và điểm O tùy ý thuộc miền trong của hình
bình hành. Nối OA,OB,OC,OD. Chứng minh SOAB + SOCD = SOAD + SOBC .
Bài 9. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt cạnh CD tại M ,
tia phân giác của góc C cắt cạnh AB tại N . Chứng minh
a) Tứ giác AMCN là hình bình hành.
b) Ba đường thẳng AC,MN và BD đồng quy.
Bài 10. Cho hình bình hành ABCD có Â = 120◦ và AB = 2AD.
a) Tia phân giác của D̂ cắt cạnh AB tại điểm E, chứng minh EA = EB.
b) Chứng minh AD ⊥ AC.
Bài 11. Cho tứ giác ABCD có O1, O1, O3, O4 lần lượt là trung điểm của các cạnh
AB,BC,CD,AD. Lấy O là một điểm nằm trong tứ giác. Gọi M,N,P,Q theo thứ
tự là điểm đối xứng với điểm O qua các điểm O1, O1, O3, O4. Chứng minh tứ giác
MNPQ là hình bình hành.
Bài 12. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tam giác đều ABE và ADF nằm ngoài
hình bình hành.
a) Chứng minh rằng tam giác EFC là tam giác đều.
b) Gọi M, I,K theo thứ tự là trung điểm của BD,AF,AE. Tính ÎMK.
Bài 13. Qua đỉnh A của hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng song song với
đường chéo BD cắt các tia CB,CD lần lượt tại E,F . Chứng minh rằng các đường
thẳng AC,DE,BF đồng qui.
Bài 14. Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác .M,N, P theo thứ tự là
trung điểm của các cạnh BC,CA,AB. Gọi A′, B′, C ′ lần lượt là các điểm đối xứng
của điểm O qua M,N,P . Chứng minh rằng tứ giác AB′A′B là hình bình hành.
Bài 15. Chứng minh rằng: Nếu một tứ giác có các đường chéo và các đoạn thẳng
nối trung điểm của các cặp cạnh đối đồng quy thì tứ giác đó là một hình bình
hành.
Bài 16. Trên các cạnh AB,BC,CD,DA của hình bình hành ABCD lấy các điểm
tương tứng E,F,G,H sao cho AE = CG,BF = DH. Chứng minh
a) Tứ giác EFGH là hình bình hành.
b) Các đường thẳng AC,BD,EG,HF đồng qui.
https://www.facebook.com/casiotuduy 12 0122 667 8435
GV. Trần Lê Quyền
Bài 17. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng d nằm ngoài hình bình hành
đó. Gọi A′, B′, C ′, D′ lần lượt là hình chiếu của các điểm A,B,C,D lên đường thẳng
d. Chứng minh AA′ + CC ′ = BB′ + DD′.
Bài 18. Cho hình bình hành ABCD, qua đỉnh D kẻ một đường thẳng, nó cắt các
đường thẳng AC,AB,BC theo thứ tự tại M,N,K. Chứng minh
a) DM2 = MN.MK
b) DMDN +
DM
DK = 1.
Bài 19. Cho hình bình hành MNPQ. Một đường thẳng đi qua M cắt các đường
thẳng NP,PQ,QN theo thứ tự tại A,B,C. Chứng minh
a) AN.BQ không đổi.
b) MC2 = AC.BC.
1.8 Đối xứng tâm
Bà