Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9

Đề bài.
Bài 1(3đ). Cho biểu thức: A = 
Rút gọn A.
Tính giá trị của A khi x = +2010
Bài 2(3đ).	Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1)
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 5).
b. Vẽ đồ thị hàm số với giá trị vừa tìm được ở câu a. Gọi giao điểm của đồ thị hàm số (1) với trục Ox là B; giao điểm của đường thẳng hạ từ A vuông góc với Ox là C. Tính diện tích tam giác ABC?
Bài 3(2) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 
 Chứng minh rằng: z – x =2
Bài 4(2.5). Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x3 + y3 + xy
Bài 5(2.5). Cho a, b>0. Chứng minh rằng: 
Bài 6(3) Cho tam giác vuông ABC ( = 900, BC > BA) nội tiếp đường tròn đường kính AC. Kẻ dây cung BD vuông góc với đường kính AC. Gọi H là giao điểm của AC và BD. Trên HC lấy điểm E sao cho E đối xứng với A qua H. Đường tròn đường kính EC cắt cạnh BC tại I ( I khác C). Chứng minh rằng:
CI.CA = CB.CE
HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC
Bài 7(4). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (0; R). Đường cao AK cắt đường tròn (0) tại D; AN là đường kính của đường tròn (0).
Chứng minh: BD = CN.
Tính độ dài AC theo R và α . Biết ABC = α .
Gọi H, G lần lượt là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. 
 Chứng minh rằng H; G; O thẳng hàng.
Giải
Bài
Nội dung
Biểu chấm
1(3đ)
a.(2đ) A = ĐKXĐ: x0; x =
 = 
b.(1đ) Thay x = +2010 vào A ta có: A 
0.5
0.5
0.5
0.5
1.0
2(3đ)
Cho hàm số y = 3x +2m-1 (1)
Vì đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(1; 5). Thay x = 1; y = 5 vào (1) ta có: 5 = 3 + 2m – 1 m = 
- Học sinh vẽ được đồ thị đúng.
- Học sinh lập luận lôgic: 
 - Tính được SABC= BC.AC = .5 = (đvdt)
0.5
0.5
1.0
0.5
0.5
3(2đ)
Cho các số thực x, y , z thỏa mãn 
áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có:
 = 
 = => => 4(x-y)(y-z) = (z – x)2 
 => (z – x) = 2
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
4(2.5đ)
Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x3 + y3 + xy
Ta có: B = x3 + y3 + xy = (x + y)( x2 – xy + y2) + xy
 = (x + y)[ (x + y)2 – 3xy] + xy
Thay x + y = 1 ta có: B = 1 – 2xy
Từ x + y = 1 => y = 1 – x thay vào B ta có:
 B =1 – 2x(1-x) = 2x2 – 2x + 1 = 2(x -)2 + 
 Do đó Min B = khi x = y = 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
5(2.5đ)
Cho a, b>0. Chứng minh rằng: 
Xét hiệu: = 
 = ( ) + ( )= ( -1) + ( -1)
 = + = 
 = 0 với mọi a, b > 0 
 Vậy: với mọi a, b > 0 là đúng.
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
6(3đ)
a.(1.5đ) Chứng minh: CI.CA = CB.CE
 Học sinh lập luận được: ABC = EIC = 900
 Xét hai tam giác: ABC và EIC
Có : ABC = EIC (c/m trên); Góc C chung
Do đó : ABC đồng dạng EIC (g.g)=>
=> CI.CA = CB.CE (Đpcm)
b.(1.5đ) Chứng HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EC
Ta có: HCB + CBH = 900 
 IDB +IBD = 900
Lập luận được: HCB = 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25