Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn thi: Toán, lớp 6

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN THI: TOÁN, LỚP 6
Thời gian 120phút(Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 : (4 điểm)
 a) Cho A = 31 +32+33 + .....+ 32006 
	1. Thu gọn A
	2. Tìm x để 2A+3 = 3x
 b) Tính nhanh:
 A = 
Câu 2: (4 điểm)
	a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4.
	b) Tìm số tự nhiên n sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750.
 b) Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3 ?
Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm.
a) Tình độ dài đoạn BM ?
b) Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 . Tính góc CAM ?
c) Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM . Tính góc xAy ?
d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tính độ dài BK ?
Câu 5:(2 điểm)
a) Tính: A= 
 b) Tìm số nguyên tố p để p + 10 và p + 14 đều là các số nguyên tố.
 Hết 
Họ và tên học sinh:..., số báo danh.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 6
Câu 1 : (4 điểm)
 a) Cho A = 31 +32+33 + .....+ 32006 
	1. Thu gọn A
	2. Tìm x để 2A+3 = 3x
1. Ta có: A = (1)
Nhân 3 ở cả 2 vế ta có: 3A = (2) (0,5 điểm)
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta có:
 2A = ==> A= (0,5 điểm)
2. Ta có: 2A + 3 = ==> ==> (1 điểm)
 b) Tính nhanh:
 A = 
 = (1 điểm)
 = (0,75 điểm)
 = = 2 (0,25 điểm)
Câu 2: (4 điểm)
	a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho số đó chia cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2 ; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4.
- Gọi số cần tìm là x ta có:
 x chia cho 3 dư 1 do đó x+2 chia hết cho 3	(0,25 điểm)
 x chia cho 4 dư 2 do đó x +2 chia hết cho 4	(0,25 điểm)
 x chia cho 5 dư 3 do đó x +2 chia hết cho 5	(0,25 điểm)
 x chia cho 6 dư 4 do đó x +2 chia hết cho 6	(0,25 điểm)
Vậy x+2 là bội chung nhỏ nhất ( vì theo đề bài đây là số tự nhiên nhỏ nhất) của 3,4,5, 6 	(0,5 điểm)
hay x+2 = 60 hay x = 58	(0,5 điểm)
	b) Tìm số tự nhiên n sao cho 4n-5 2n-1 
Ta có 4n – 5 = 2.(2n-1) - 3 	 (0,5 điểm)
Vì 2.(2n-1) 2n-1 nên 4n-5 chia hết cho 2n-1 thì -32n-1 (0,25 điểm)
==> 2n-1 là ước của -3 hay: 2n-1 = 1 hay n=1	(0,25 điểm)
 2n-1 = 3 hay n=2	(0,25 điểm)
 2n-1 = -1 hay n=0	(0,25 điểm)
 2n-1 = -3 hay n=-1( loại)	(0,25 điểm)
Vậy với n= 0,1,2 thì 4n-5 chia hết cho 2n-1	(0,25 điểm)
Câu 3: (4 điểm)
a) Tìm x biết: ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750. 
=> x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100 = 5750 (0,25 điểm)
=> ( 1 + 2 + 3 + . . . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x ) = 5750 (0,25 đ)
 101 x 50 + 100 x = 5750 (0,25 điểm)
 100 x + 5050 = 5750 (0,25 điểm)
 100 x = 5750 – 5050 (0,25 điểm)
 100 x = 700 
 x = 7 (0,25 điểm)
 b) Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng số thứ nhất bằng số thứ 2 và bằng số thứ 3 ?
Số thứ nhất bằng: : = (số thứ hai) 	 (0,5 điểm)
Số thứ ba bằng: : = (số thứ hai)	 (0,5 điểm)
Tổng của 3 số bằng (số thứ hai) = (số thứ hai) (0,5 điểm)
Số thứ hai là : 210 : = 66 (0,5 điểm)
số thứ nhất là: . 66 = 63 (0,25 điểm) 
số thứ 3 là:.66 = 81 (0,25 điểm)
Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC và BC = 5cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm.
a) Tình độ dài đoạn BM ?
b) Cho biết góc BAM = 800 , góc BAC = 600 . Tính góc CAM ?
c) Vẽ các tia Ax, Ay lần lượt là tia phân giác của góc BAC và CAM . Tính góc xAy ?
d) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM và CK = 1 cm. Tính độ dài BK ?
- Vẽ hình đúng được 0,5 điểm
a) Ta có BM = BC + CM ( vì C nằm giữa B và M) (0,75 điểm)
 hay BM = 5 + 3 = 8 (cm) (0,75 điểm)
b) Ta có góc CAM = BAM – BAC (0,75 điểm)
 hay CAM = 80- 60=20 (0,75 điểm)
c) Ta có xAy = xAC + CAy (0,5 điểm)
mà xAC = = 300 và CAy = = 100 (0,75 điểm)
 vậy xAy = 400 (0,25 điểm)
d) Có 2 trường hợp:
- Nếu K nằm giữa C và M thì BK = BC + CK = 6 (cm) (0,75 điểm)
- Nếu K nằm giữa B và C thì BK = BC – CK = 4 (cm) (0,75 điểm)
Câu 5:(2 điểm)
a) Tính: A= 	
 A = (0,5 điểm)
 = (0,25 điểm)
 = (0,25 điểm)
 b) Tìm số nguyên tố p để p + 10 và p + 14 đều là các số nguyên tố.
- Nếu p là số nguyên tố chẵn => p = 2. Khi đó: p + 10 = 12 không là số nguyên tố. Vậy p = 2 loại.	(0,25 điểm)
- Nếu p là số nguyên tố lẻ => p =3 hoặc p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2.
+ Nếu p = 3 => p + 10 = 13 là số nguyờn tố và p + 14 = 17 là số nguyên tố. Vậy p = 3 là số nguyên tố thoả mãn điều kiện đầu bài. (0,25 điểm)
+ Nếu p = 3k + 1 (k Î N*) => p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) Chia hết cho 3 và k + 5 > 5 Nên p + 14 là hợp số. Vậy p = 3k + 1 loại (0,25 điểm)
+ Nếu p = 3k + 2 (k Î N*) => p + 10 = 3k + 12 = 3(k + 4) Chia hết cho 3 và k + 4 > 4 Nên p + 10 là hợp số. Vậy p = 3k + 2 loại (0,25 điểm)