Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Lạc Sơn cấp THCS, năm học 2012 - 2013 môn: Toán

UBND HUYỆN LẠC SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
CẤP THCS, NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN 
(Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1 (5,0 điểm): Cho biểu thức 
	 Với 
	a) Rút gọn biểu thức A.
	b) Tìm giá trị của A khi .
	c) Với giá trị nào của x thì đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2 (4,0 điểm) Cho các hàm số sau:
; ; 
 a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy?
 b) Tính diện tích của tam giác được tạo bởi ba đường thẳng này?
 Bài 3 (2,0 điểm )
Chứng minh rằng với mọi x,y ta có : 
 b) Chứng minh : chia hết cho 84.
Bài 4 (2,0 điểm)	
 Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với đường chéo AC.Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AH và CD.Tính góc BME. 
Bài 5 (6,0điểm): 
Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By vuông góc với AB. Trên Ax và By lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho 
( Với O là trung điểm của AB). Chứng minh rằng.
 NM = AM + BN
 NM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.
AM. BN = 
Bài 6 (1,0điểm) Cho x,y là các số dương thoả mãn: x+y = 4
 Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 Họ,tên thí sinh.................................. SBD.......... Trường......................................
 Người coi thi số1.....................................Người coi thi số2.........................................
UBND HUYỆN LẠC SƠN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2012 - 2013 
BỘ MÔN : TOÁN 
-Hướng dẫn chỉ trình bày một trong các cách giải. Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa theo từng câu, từng bài.
Đáp số còn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ còn chưa chi tiết từng bước lập luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống nhất trước khi chấm
Điểm toàm bài không làm tròn.
Bài 
Nội dung
1
2
 a) Với điều kiện ta có:
 (1,0điểm)
 (0,5điểm)
 (0,5điểm)
 (0,5điểm)
b) ta có 
thoả mãn điều kiện. Khi đó: . (0,5điểm)
Do vậy, giá trị của biểu thức A là: (0,5điểm)
c) ta có . (1,0điểm)
 Để có GTNN thì có GTLN, hay có GTNN.Ta có: , dấu "=" xảy ra khi x = 0.
Giá trị nhỏ nhất của là , xảy ra khi x = 0. (0,5điểm)
a) Chứng minh với mọi x,y ta có : (1)
 (1) x(x3- y3) – y(x3- y3) 0 	 (x-y)2(x2 + xy + y2) 0	(0,5điểm) 
 (x-y)2 (2) 
 (2) luôn đúng (1) đúng	 
	Dấu “ =” xảy ra khi x = y (0,5điểm) 
b) Chứng minh : chia hết cho 84.
 Ta có 	(0,5điểm) 
 chứng tỏ chia hết cho 84 (0,5điểm)
5,0đ
2,0đ
3
lập luận và vẽ đúng đồ thị mỗi hàm số cho 1,0 đ ( 3,0 điểm)
b)Gọi giao điểm của đường thẳng y= - x + 5 và đường thẳng 
là E ta có: Hoành độ của điểm E phải thỏa mãn phương trình
 -x + 5 = Suy ra x = 4; y = 1 và E(4;1) 
Tương tự: D là giao điểm của 2 đường thẳng y = 4x và y= -x + 5 và có tọa độ là : D(1;4) (0,5điểm)
SDOE = SOAB - SODA - SOEB ) 
	= 
 = = (5.5 – 5.1 – 5.1)	 = 7,5 (0,5điểm)
4,0đ
3
Vẽ hình ghi GT & KL đỳng (0,5điểm)
 Gọi N là trung điểm của BH 
 Lập luận chứng minh được
N là trực tâm của tam giác BMC. 
 (0,5điểm) 
 Lập luận chứng minh tứ giác MNCE là hình b.hành
 (0,5điểm) 
Mà Suy ra hay (0,5điểm)
2,0đ
4
Vẽ hình ghi GT & KL đúng (0,5điểm) 
Gọi giao điểm của tia MA và NO là E
chứng minh được: BN = AE, OE = ON (1,0điểm) 
Lập luận chứng tỏ cân tại M
Suy ra MN = ME = AM + BN (1,0điểm) 
 b)Kẻ OK vuông góc NM Chứng minh được 
 OK = OA (1,0điểm) 
Suy ra MN là tiếp tuyến của ( O; AB/2) (0,5điểm) 
c)Xét tam giác vuông MON có OK là đường cao
Có hệ thức (0,5điểm) 
Mà MK = AM, KN = BN ( T/c tiếp tuyến)
Suy ra AM. BN = (0,5điểm) 
5,0đ
5
a ) Ta có 
Cũng từ 
 (0,5điểm) 
Từ ( *) Và (**) suy ra A = 
 dấu " =" xảy ra .
 Vậy Min A = (0,5điểm) 
2,0đ