Đề thi học kì 1 năm học 2014-2015 môn Toán 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BẢO YÊN
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2014-2015
MÔN :TOÁN 12
Thời gian:180 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề chẵn
Câu 1 (3 điểm)
 Cho hàm số , có đồ thị (C)
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3
Câu 2 (3 điểm)
1. Giải phương trình 
2. Giải bất phương trình: 
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + trên đoạn [; 2].
Câu 3 (2 điểm)
 1.Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a, SB = a.. Tam giác ABC là tam giác đều. Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC với M là trung điểm của SB.
Câu 4.(1 điểm). Cho hàm số có đồ thị C. Gọi I là giao của hai đường tiệm cận . Tìm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm I tới tiếp tuyến với (C ) tại M lớn nhất .
Câu 5.(1 điểm). Cho các số a,b,c không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
HẾT
Họ và tên thí sinh:..Số báo danh..
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ CHẴN
CÂU
ĐÁP ÁN
ĐIỂM
Câu 1
3 điểm
Câu 2
3 điểm
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
1) Tập xác định: 
0,25
2) Sự biến thiên:
● Giới hạn của hàm số tại vô cực 
0,25
● Bảng biến thiên:
– Đạo hàm: ; 
0,25
x
y¢
y
3
0
+¥
-¥
 1
0
+
–
–
–4
0
+¥
– ¥
0,25
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng và , 
 Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3) 
 0,25
Hàm số đạt cực đại tại x = 3, 
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, 
0,25
 3) Vẽ đồ thị:
Một số điểm đồ thị đi qua (0 ; 0), U(2 ; –2), (4 ; –4) 
Đồ thị
0,5
 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3
y’(x0) = 3
Suy ra y(2)=-2
Vậy tiếp tuyến với (C) có phương trình là: 
0,50
0.5
1. Giải phương trình 
Đặt , (điều kiện t > 0)
0,25
Phương trình (1) trở thành 
0,25
Với t = 3 ta có 
0,25
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 1
0,25
2.Giải bất phương trình: 
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
0,25
x3
0,25
0.5
 Tập xác định: 
 Ta có: 
 x = 1, x = -1,
 Trên đoạn [; 2] ta có: y() = , y(1) = , y(2) = 
 Suy ra:
 , 
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 3
2 điểm
1.Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Tính được AB = 2a
+ Tính được S∆ABC = a2.
+ Tính được VS.ABC = 
0,25 
0,5 
0,25 
2. Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tính khoảng cách giữa Am và SC.
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Qua G dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ABC. Khi đó mọi điểm nằm trên d cách đều các đỉnh A, B và C. Trong mặt phẳng tạo bởi SA và đường thẳng d dựng đường thẳng trung trực của SA cắt đường thẳng d tại I ta có IA = IB =IC =SI. Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
0,25
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là AI.
Xét tam giác IAG vuông tại G ta có 
0,25
Gọi J là trung điểm của BC, ta có MJ // SC nên SC //(AMJ).
Gọi H là trung điểm của AB ta có MH //SA nên MH vuông góc với (ABC). Nên tứ diện HMAG là một tam diện vuông.
Ta có d(SC,AM) =d(SC,(ẠMJ) = d(C,(AMJ)) = 2d(H,(AMJ) 
0,25
Xét tam diện vuông HMAG, đặt h = d(H,(AMJ) = d(H,(AMG) ta có
0,25 
Câu 4
1 điểm
Cho hàm số có đồ thị C. Gọi I là giao của hai đường tiệm cận . Tìm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm I tới tiếp tuyến lớn nhất .
Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C ) nên tọa độ của 
Tọa độ điểm I(-2;1)
Phương trình tiếp tuyến với (C ) tại M là:
0,25
Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là:
0,25
 (AD BĐT Cô si)
0,25
0,25
Câu 5
1 điểm
 Cho các số a,b,c không âm thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 
Ta có
0,25
Do đó 
0,25 
Đặt 
Ta có hàm số 
f(6)= ¼; f(3) = 0
0,25
Vậy maxP = maxf(t) = f(6) = ¼
Khi 
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BẢO YÊN
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2014-2015
MÔN :TOÁN 12
Thời gian:180 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề lẻ
Câu 1 (3 điểm)
Cho hàm số y = – x3 + 3x2 có đồ thị là ( c).
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( c) của hàm số.
 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3
Câu 2 (3 điểm)
1. Giải phương trình 4x - 4. 2x + 3 = 0 
2. Giải bất phương trình: 
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [; 3].
Câu 3 (2 điểm).
 1.Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên SA bằng .Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AM với M là trung điểm của SB.
Câu 4.(1 điểm). Cho hàm số có đồ thị (C) . Gọi I là giao của hai đường tiệm cận . Tìm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm I tới tiếp tuyến với (C ) tại M lớn nhất .
Câu 5.(1 điểm). Cho các số thực .
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
HẾT
Họ và tên thí sinh:..Số báo danh..
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Đề lẻ
Câu
Đáp án
Điểm
 Câu 1.
 (3điểm) 
1. ( 2 điểm)
Tập xác định: D = R
0.25
Sự biến thiên:
Chiều biến thiên: y’ = 6x – 3x2
 y’ = 0 6x – 3x2 = 0 x = 0, x = 2,
Suy ra, hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2), hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (; 0) và (2; ).
Cực trị: hàm số có hai cực trị : yCĐ = 4 tại x = 2, yCT = 0 tại x = 0
0.75
Giới hạn: 
 , 
Suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận
0.25
Bảng biến thiên
 x - 0 2 + 
 y’ - 0 + 0 - 
 y + 4 
 0 - 
0.25
Đồ thị:
- Giao điểm với các trục tọa độ O( 0; 0), A(3; 0)
0.5
2. (1 điểm)
f’(x0)= 3
ta có: x0 = 1 y0 = 2
 Vậy phương trình tiếp tuyến tại A(1; 2) là: y = 3 x-1
 0.5
 0.5
Câu 2
(3điểm)
1.( 1 điểm)
 4x - 4. 2x + 3 = 0 (1)
 Đặt t = 2x , t 0.
 (1) t2 – 4t + 3 = 0 
 Với t = 1 2x = 1 = 20 x = 0
 Với t = 3 2x = 3 x = log23
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 0, x = log23
0.25
0.25
0.5
2. (1 điểm)
2.Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
0,25
x3
0,25
0.5
 Tập xác định: 
 Ta có: 
 x = 2, x = -2,
 Trên đoạn [; 3] ta có: y() = , y(2) = 4, y(3) = 
 Suy ra:
 , 
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 3
2 điểm
1.Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo a.
AC=
 vuông tại O 
0.25
0.5
0.25
 2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và DM với M là trung điểm của AB.
Gọi O là giao của AC và BD vì ABCD là hình vuông nên O là tâm đường tròn ngoại ABCD. SO vuông góc với đáy. Khi đó mọi điểm nằm trên SO cách đều các đỉnh A, B C và D. Trong tam giác SOB kẻ đường thẳng trung trực của SB cắt đường SO tại I ta có IA = IB =IC = ID=SI. Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là SI.
Ta có hai tam giác SOB và SMI đồng dạng (g.g) nên
0,25
Gọi N là trung điểm của BC, ta có MN // SC nên SC //(AMN).
Gọi H là trung điểm của OB ta có MH //SO nên MH vuông góc với (ABCD). Nên tứ diện HMNG là một tam diện vuông.
Ta có d(SC,AM) =d(SC,(ẠMN) = d(C,(AMN)) = d(B,(AMN))=2d(H,(AMN) = 2d(H,(GMN) 
0,25
Xét tam diện vuông HMNG, đặt h = d(H,(AMN) = d(H,(NMG) ta có
0,25
Câu 4.
(1 điểm). 
Cho hàm số có đồ thị (C) . Gọi I là giao của hai đường tiệm cận . Tìm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm I tới tiếp tuyến với (C ) tại M lớn nhất .
Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C ) nên tọa độ của 
Tọa độ điểm I(2;1)
Phương trình tiếp tuyến với (C ) tại M là:
0,25
Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là:
0,25
 (AD BĐT Cô si)
0,25
0,25
 Câu 5.
(1 điểm). 
Cho các số thực 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Ta có 
Ta có 
0,25 
Đặt 
Ta có 
0,25
Do đó f(t) đồng biến trên [1;4]
Nên 
0,25
Vậy 
0,25