Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 (Có đáp án)

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học : 2015 -2016
Môn : Toán
Thời gian : 150 phút
ĐỀ BÀI
Bài 1: (2,0 điểm) 
	Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3.
x4 + 2013x2 + 2012x + 2013.
Bài 2: (2,0 điểm) 
 a) Tìm giá trị của a để (21x2 - 9x3 + x + x4 + a) ( x2 - x - 2)
 b) Chứng minh rằng n4 - 2n3 - n2 + 2n chia hết cho 24 với mọi n Z
Bài 3: (2,0 điểm) 
Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc
Cho , (với x0, y 0, z 0)
Tính giá trị của biểu thức 
Bài 4: (2,5 điểm) Cho biểu thức: 
 	a. Rút gọn biểu thức A. 
 	b. Tính giá trị của A , Biết |x| =.
 	c. Tìm giá trị của x để A < 0.
 	d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Bài 5 : (2 điểm)
a) Giải phương trình : .
 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
 A = 
Bài 6: (2 điểm)
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Bài 7: (3.5 điểm)
	Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.
Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.
Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 8: (4 điểm)
 Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? 
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
---Hết---ĐÁP ÁN và THANG ĐIỂM
Bài 1: (2 điểm)
	a) 	(x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = 
	= (0.25 điểm)
	= = 3(0.5 điểm)
	= 3. (0.25 điểm)
 b)x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 = (x4 - x) + (2013x2+2012x+2013) (02.5 điểm)
 = x(x3- 1) + 2013 (x2+x+1) 	 (0.25 điểm)
 = x(x -1) (x2+x+1) )+ 2013 (x2+x+1) 	 (0.25 điểm)
 = (x2+x+1) [x(x -1) + 2013] = (x2+x+1) (x2 –x + 2013) (0.25 điểm) 
 Bài 2: (2 điểm)
 a)Thực hiện phép chia tìm đúng thương: x2 – 8x + 15
 và dư: a + 30 	 (0.5 điểm) 
Phép chia hết nên a + 30 = 0 suy ra a = -30	 (0.5 điểm) 
 b) n4 - 2n3 - n2 + 2n = n(n3 -2n2 - n + 2)
 = n{n2(n – 2) - (n -2)} 	 (0.25 điểm) 
 n(n2 – 1)(n – 2) = n(n – 1)(n +1)(n – 2) 	 	 (0.25 điểm) 
 n(n – 1)(n +1)(n – 2) là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có một số chia hết cho 2; một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4 (0.25 điểm) 
 nên n(n – 1)(n +1)(n – 2) 2.3.4 = 24 
Kết luận n4 - 2n3 - n2 + 2n 24	 (0.25 điểm) 
Bài 3: (2 điểm) 
a) (a + b + c)3 = (a + b )3 + 3(a+b)2c + 3(a+b)c2 + c3 
=(a+b)3 3(a+b)c.(a+b+c) + c2 = (a+b)3 + c2	 (0.25 điểm) 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b) 	 (0.25 điểm) 
a3 + b3 + c3 + 3ab(-c) ( do a + b + c = 0 nên a + b = -c) 	 (0.25 điểm) 
a3 + b3 + c3 + 3ab(-c) = 0 suy ra a3 + b3 + c3 = 3abc	 (0.25 điểm) 
 b) Với a = ; b = ; c = . 
Áp dụng kết quả câu a ta có 	 (0.25 điểm) 
 = 	 (0.5 điểm) 
= xyz. = 3	 (0.25 điểm) 
Bài 4: (2,5 điểm) Biểu thức: 
a) Rút gọn được kết qủa: (0,75 điểm)
 b) hoặc 	 (0,25 điểm)	
 A= hoặc A= (0,75 điểm)
 c) A 0x >2 (0,25 điểm)
 d) A Z x-2 Ư(-1) x-2{ -1; 1} x{1; 3} (0,5 điểm) 
 Bài 5: (2 điểm)
 a) (1đ) x2+9x+20 = ( x+4)( x+5) ;
 x2+11x+30 = ( x+6)( x+5) ;
 x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ;	 (0,25 điểm)
 ĐKXĐ : 	 (0,25 điểm) Phương trình trở thành : 
 	 (0,25 điểm)
 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
 (x+13)(x-2)=0
 Từ đó tìm được x=-13; x=2;	 (0,25 điểm)
b) (1đ) Đặt b+c-a = x >0; c+a-b = y >0; a+b-c = z >0 (0,25 điểm)
 Từ đó suy ra a= ;	 (0,25 điểm) Thay vào ta được A= (0,25 điểm)
 Từ đó suy ra A hay A	 (0,25 điểm)
Bài 6: (2 điểm)
	= (1,75 điểm)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.	 (0,25 điểm)
Bài 7: (3.5 điểm)
	a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì) 	 (0,5 điểm)
	Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân 	 (0,5 điểm)
	giác của. 	 (0,5 điểm)
	b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF	 (0,5 điểm)
	Suy ra 3AD + 4EF = 7AD	 (0,5 điểm)
	3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất	 (0,5 điểm)
	 D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.	 	 (0,5 điểm)
Bài 8: (4 điểm) 
Vẽ hình đúng	 (0,5 điểm)
 a)Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) BE // DF (0,25 điểm)
 Chứng minh : BE = DF (0,5 điểm)
 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)
b) Chứng minh:ABC= ADC HBC= KDC (0,25 điểm)
 CHB ∽CKD(g-g) (0,5 điểm)
 (0,5 điểm)
c)Chứng minh : AFD ∽AKC(g-g) (0,25 điểm)
 (0,25 điểm)
Chứng minh : CFD ∽AHC(g-g) (0,25 điểm)
Mà : CD = AB (0,25 điểm)
Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (0,25 điểm) 
 Người ra đề
Đặng Đình Tuấn