Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD & ĐT Tam Dương (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm học: 2012-2013
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài 120 phút 
Đề thi này gồm 01 trang.
	Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay
Câu 1: (2,5 điểm ) 
a) Phân tích đa thức thành nhân tử.
b) Cho các số nguyên thoả mãn . Tính giá trị của biểu thức .
Câu 2: (2,5 điểm) 
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
Giải phương trình: . 
Câu 3: (2,5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
b) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: .
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
 	a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC.
 	b) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi.
 	c) Kẻ. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh .
====== HẾT ======
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinhSBD
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
H ƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8
NĂM HỌC 2012-2013
HDC này gồm 2 trang
Câu
Nội dung chính
Điểm
1
(2,5đ)
a) Ta có 
.
0,5
0,5
0,25
b) Đặt ; 
Ta có: 
. Do là số nguyên có tổng bằng 0 và nên 
0,25
0,5
0,5
2
(2,5đ)
a)
Ta có: 
Lại có: 
Suy ra . Mà 
Lần lượt thử ta được là nghiệm của phương trình. 
0,25
0,5
0,5
b) 
Đặt Ta có 
Mà nên hoặc 
PT có nghiệm là .
0,5
0,5
0,25
3
(2,5đ)
a) Ta có:
 8100312,5 8100312,5 
Vậy Min 
0,5
0,5
0,25
b) Đặt 
Áp dụng BĐT và với dương, dấu bằng xảy ra 
Ta có 
Bởi vậy 
=(ĐPCM)
0,25
0,25
0,5
0,25
4
 a) Chứng minh EA.EB = ED.EC	
- Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g)	
- Từ đó suy ra 	
0,25
0,25
 b) Kẻ MI vuông góc với BC (. Ta có BIM đồng dạng với BDC (g-g)
 (1)
Tương tự: ACB đồng dạng với ICM (g-g) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (không đổi)
0,5
0,25
0,25
c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) 	
- Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (c-g-c) 
mà 
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú :
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.
- Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.
=====================
PHÒNG GD&ĐT
VĨNH TƯỜNG
ĐỀ GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (1,5 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
b) Giải phương trình: 
Câu 2: (1,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 
b) Cho các số a, b, c thỏa mãn: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 3: (1,5 điểm)
a) Cho các số tự nhiên a1, a2, ....., a2013 có tổng bằng 
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
b) Tìm số tự nhiên n để và là hai số chính phương.
Câu 4: (1,5 điểm)
a) Cho đa thức , trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng các đa thức và đều chia hết cho . Tính 
b) Cho hai số x; y thỏa mãn: và 
 Tính giá trị của biểu thức 
Câu 5: (2,5 điểm)
	Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE ^ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB.
Câu 6: (1,5 điểm)
a) Cho A là một tập hợp gồm 1008 số nguyên dương phân biệt bất kì, mỗi số không vượt quá số k. Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho trong A có ít nhất một số là bội số của một số khác cũng thuộc A.
b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng: 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên học sinh dự thi:;SBD: