Đề thi giao lưu học sinh giỏi lớp 6 năm học: 2012 - 2013 môn: Toán

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Năm học: 2012-2013
Môn: Toán 
Thời gian làm bài:120 phút 
Đề thi này gồm 01 trang
Chú ý: Thí sinh dự thi không được dùng máy tính cầm tay!
Câu 1.(2.0 điểm) Thực hiện phép tính: 
a) S = 
	b) B= .
Câu 2. (2.0 điểm)
a) Cho ; . Tính 
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 1! + 2! + 3! + ... + n! là số chính phương.
Câu 3 (2.0 điểm) 
	a) Tìm các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: 
 	b) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố.
Câu 4 (2.0 điểm) 
Cho . Vẽ tia phân giác Oz của ; vẽ tia Ot sao cho . 
a) Tính số đo các góc: 
b) Ot có phải là tia phân giác của góc zOy không? Vì sao?
Câu 5 (2.0 điểm) 
	a) Cho A = 20122012 + 22012 và B = 20122012.
	Chứng tỏ rằng khi biểu diễn A, B dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của A và số chữ số của B là bằng nhau.
 b) Ký hiệu S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n
Tìm n sao cho S(n) = n2 – 2013n + 6.
----------------HẾT-----------------
	Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
	Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:.....................
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG
KÌ THI GIAO LƯU HSG LỚP 6, 7, 8 NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6
(HDC này gồm 04 trang)
Câu 1: (2,0 điểm)
Phần
Nội dung trình bày
Điểm
a 
(1.0 điểm)
Ta có : với n ÎN* 
Do đó: 
.
0.25
0.5
0.25
b
(1.0 điểm)
Ta có:
B = 
 =
 = = 3 
0.5
0.5
Câu 2: (2,0 điểm)
Phần
Nội dung trình bày
Điểm
a 
(1.0 điểm)
Ta có ; 
= 
= 
 = B
Suy ra: 
Vậy 
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1.0 điểm)
Xét : n = 1 Þ 1! = 12
 n = 2 1! +2! = 3
 n=3 1! + 2! + 3! = 9 =32
 n = 4 1!+ 2! +3! + 4! =33
- Với n >4 thì n! = 1.2.3.........n là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0. Nên 1!+2!+......+n! = 33 cộng với một số có chữ số tận cùng bằng 0 
Suy ra : 1!+2!+......+n! có chữ số tận cùng là 3, nên nó không phải là số chính phương.
- Vậy chỉ có hai giá trị n=1 hoặc n=3 thì 1! +2! + 3! +4! +.......+n! là số chính phương
0.25
0.5
0.25
Câu 3: (2,0 điểm)
Phần
Nội dung trình bày
Điểm
a 
(1.0 điểm)
Ta thấy: a, b, c là các số tự nhiên khác 0
Do a, b, c có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử:
0 < a ≤ b ≤ c
Ta có: 
 => a ≤
 => a Î {1;2;3}
+ Với a = 1 thì . Không tồn tại b, c ÎN thỏa mãn.
+ Với a = 2:
Ta có: 
=> 
Do b ≤ c nên 
=> b ≤ => bÎ {1;2;3;4;5;6}
Kiểm tra các trường hợp ta thấy b = 5 thì c = 10; b=4 thì c=20 (thỏa mãn). Các trường hợp còn lại của b không thỏa mãn.
+ Với a = 3:
Ta có 
Do b ≤ c nên 
b ≤ => bÎ {1;2;3;4;5;6;7}
Kiểm tra các trường hợp của b ta thấy các giá trị của c đều không thỏa mãn cÎ N
Vậy các bộ số (a;b;c) thỏa mãn đề bài là: (2;5;10) , (2;4;20) và các hoán vị của chúng
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1.0 điểm)
- Vì p > q > r nên: p2 + q2 > 2
Do vậy p2 + q2 + r2 là số nguyên tố thì p2 + q2 + r2 phải là số lẻ => p2, q2, r2 là các số lẻ => p, q, r là các số nguyên tố lẻ.
- Trong ba số p,q,r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số nào chia hết cho 3 thì p2, q2, r2 chia 3 đều dư 1, khi đó p2 + q2 + r2 chia hết cho 3 (mâu thuẫn)
	=> p = 3 ( p là số nguyên tố lẻ và nhỏ nhất trong 3 số)
	=> q = 5, r = 7
Kiểm tra: p2 + q2 + r2 = 32 + 52 + 72 = 83 là số nguyên tố (thỏa mãn)
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 4: (2,0 điểm)
Phần
Nội dung trình bày
Điểm
a 
(1.0 điểm)
Tia Oz là phân giác góc xOy nên 
Xét hai trường hợp:
O
x
y
z
t
500
500
250
* Trường hợp 1: Ot nằm giữa Oz và Oy
Mà và Ot nằm giữa Oz, Oy nên 
Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Ot nằm giữa Oy, Oz nên Oz nằm giữa Ox, Ot => 
500
500
250
O
x
y
z
t
* Trường hợp 2: Oy nằm giữa Oz, Ot
Tia Oy nằm giữa Oz, Ot nên 
Vì Oz nằm giữa Ox, Oy và Oy nằm giữa Ot, Oz nên Oz, Oy nằm giữa Ox, Ot => 
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1.0 điểm)
- Trường hợp Oy nằm giữa Oz, Ot thì Ot không là phân giác của góc zOy
- Trường hợp Ot nằm giữa Oz và Oy ta có: 
và nên Ot là phân giác của góc zOy.
0.5
0.5
Câu 5: (2,0 điểm) 
Phần
Nội dung trình bày
Điểm
a 
(1.0 điểm)
Giả sử số B=20122012 khi biểu diễn dưới dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có:
10002012 10n > 106036 => n > 6036
Giả sử khi số A=20122012 + 22012 biểu diễn dưới dạng số tự nhiên thì số A có nhiều hơn n chữ số, tức là A ít nhất có n + 1 chữ số, suy ra:
20122012 +22012 ≥ 10n 
=> 20122012 < 10n < 20122012 + 22012 
=> 22012.10062012 6036
=> 10062012 < 2n-2012.5n ≤ 10062012 +1. 
=> 2n-2012.5n = 10062012 +1. Điều này là vô lý vì 10062012 +1 là số lẻ, còn 2n-2012.5n là số chẵn.
Do đó số chữ số của A không nhiều hơn số chữ số của B
=> ĐPCM
0.25
0.25
0.25
0.25
b
(1.0 điểm)
Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân ta có:
n = ( với ai là các chữ số, i = 0,1,2,...,m ; m ÎN)
=> n ≥ 
=> n ≥ S(n) 
=> n2 – 2013n + 6 ≤ n
=> n2 + 6 ≤ 2014n
=> 
=> n< 2014 (1)
Mà S(n) ≥ 0
 => n2 – 2013n + 6 ≥ 0
 => n2 + 6 ≥ 2013n
=> 
=> n ≥ 2013 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n = 2013
Thử với n = 2013 ta có:
S(2013) = 20132 – 2013.2013 +6 = 6 (thỏa mãn)
Vậy số tự nhiên n cần tìm là 2013.
0.25
0.25
0.25
0.25
Giám khảo chú ý:
	- HDC chỉ là một cách giải. HS có thể giải theo cách khác, giám khảo căn cứ vào bài làm cụ thể của HS để cho điểm.
	- Điểm các phần, các câu không làm tròn. Điểm toàn là tổng điểm của các câu thành phần.
	.