Đề thi cuối Lớp 12 môn Toán - Năm học 2014-2015 - Sở GD & ĐT Hà Tĩnh (Có đáp án)

 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1 
SỞ GD & ĐT HÀ TĨNH ĐỀ THI CUỐI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 
 Môn thi: TOÁN 
 Thời gian làm bài: 180 phút 
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số: 
. 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. 
Câu 2. (1,0 điểm) 
a) Cho góc α thỏa mãn: 
 và 
. Tính A = sin 2(α + π). 
b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: ( ) ( ) ̅ . Tìm phần thực, phần 
ảo của số phức z. 
Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình: . 
Câu 4. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 
{
 √ √ √ √ 
( ) (√ √ √ 
 ) 
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân: ∫ ( ) 
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ̂ . Hình 
chiếu vuông góc của đỉnh S lên (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB thỏa mãn HB = 2AH. Biết 
 √ , tính thể tích khối chóp S.ABD và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD). 
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai đáy là AB và 
CD. Biết hình thang có diện tích bằng 14, đỉnh A(1; 1) và trung điểm của cạnh BC là ( 
 ). 
Viết phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương và D nằm trên đường thẳng d 
có phương trình 5x – y + 1 = 0. 
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 3; 0) và mặt phẳng (P) 
có phương trình 2x + 2y – z +1 =0. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) và tìm tọa độ 
điểm A’ đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). 
Câu 9. (0,5 điểm) Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số được lập từ các chữ số 0, 1,2, 3, 
4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S. Tìm xác suất để số được chọn lớn hơn 300475. 
Câu 10. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm, phân biệt thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
( ) 
( ) 
( ) 
 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2 
SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH 
KỲ THI CUỐI LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014 - 2015 
Môn thi:TOÁN 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
(Bản hướng dẫn này gồm 06 trang) 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM 
Câu 1 
(2.0 điểm) 
a) (1.0 điểm) 
 Tập xác định: \{2}D R 
 Giới hạn và tiệm cận: 
2 2
lim ; lim 
x x
y y
  
    ; lim 2; lim 2
x x
y y
 
  . 
suy ra đồ thị có một tiệm cận đứng là đường thẳng 2x  và một tiệm cận ngang là 
đường thẳng 2y  . 
0.25 
 Sự biến thiên: 
- Chiều biến thiên: 
2
5
' 0, x D
( 2)
y
x

   

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 2) và (2; ) 
 - Cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị. 
0.25 
- Bảng biến thiên 
x - 2 + 
y' - - 
y 
2 
  
 
 2 
0.25 
 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3 
 Đồ thị 
0.25 
b. (1.0 điểm) 
Gọi 0(0; )M y là giao điểm của (C) và trục tung, ta có 0
2.0 1 1
0 2 2
y
 
 

 suy ra 
1
(0; )
2
M

 0.25 
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là 
5
'(0)
4
y

 0.25 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M là 
5 1
( 0)
4 2
y x

   
0.25 
hay 
5 1
4 2
y x   . 0.25 
Câu 2 
(1.0 điểm) 
a. (0.5 điểm) 
8
sin 2( ) sin(2 2 ) sin 2 2sin os os
5
A c c              (1) 
0.25 
Ta có 
2 2 16 9os 1 sin 1
25 25
c       (2) 
Do 
2

   nên os 0c   , kết hợp với (2) ta có 
3
os
5
c 

 (3) 
0.25 
8
6
4
2
2
4
6
8
15 10 5 5 10
x
y
 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4 
Thay (3) vào (1) ta có 
8 3 24
.
5 5 25
A
 
  . 
b. (0.5 điểm) 
Đặt ( , )z a bi a b R   , ta có z a bi  
Khi đó (1 2 ) 3(1 ) 2 7 (1 2 )( ) 3(1 )( ) 2 7i z i z i i a bi i a bi i             
(4 5 2) ( 2 7) 0a b a b i       
0.25 
4 5 2 3
2 7 2
a b a
a b b
   
  
    
Vậy phần thực của z là 3, phần ảo của z là -2 
0.25 
Câu 3 
(0.5 điểm) 
Ta có 
1
3.4 17.2 0 12.4 17.2 029 29x x x x       
Đặt 2 (t > 0)xt  
Phương trình đã cho trở thành: 
2
1( )
12 17 29 0 29
12
t L
t t
t
 
   
 

0.25 
Với 
29
12
t  , ta có 
2
29 29
2 log
12 12
x x   
Vậy nghiệm của phương trình là: 
2
29
x = log
12
0.25 
Câu 4 
(1.0 điểm) 
3
3
1 1 (1)
(4 3)( 4 3 8 1) 9 (2)
x y y y x
x y x
     

      
Điều kiện 
1
0 16
x
y


 
 (*) 
Với điều kiện (*) ta có: 31 1 0x y y    
0.25 
 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 5 
 do đó 
3
3
3
(1 ) ( 1)
(1) 1 1
1 1
x y y
x y y x y x y
x y y
  
        
  
   2 31 1 0x y x x y y x y y y x            
(do 2 31 1 0x x y y x y y       ) 
Thế vào (2) ta được: 3(4 3)( 4 3 8 1) 9x x x      (3) 
Vì 
3
4
x

 không phải là nghiệm của (3) nên 3
9
(4) 4 3 8 1 0
4 3
x x
x
      

0.25 
Xét hàm số 3
9
( ) 4 3 8 1
4 3
g x x x
x
     

 trên 
3
( 4; ) \{ }
4

  
Ta có 
223
1 1 36 3 8
'( ) 0 4, ;
4 3(4 3)2 4 (3 8)
g x x x
xx x
 
       
 
Lập BBT ta thấy phương trình ( ) 0g x  có đúng 2 nghiệm. 
0.25 
Ta lại có (0) ( 3) 0g g   suy ra 0; 3x x   là các nghiệm của phương trình 
( ) 0g x  . 
Với 0 0; 3 9x y x y       . 
Đối chiếu điều kiện ta thấy phương trình có 2 nghiệm: (0;0); ( 3;9) 
0.25 
Câu 5 
(1.0 điểm) 
4 4 4
0 0 0
(1 sin2 ) sin 2I x x dx xdx x xdx
  
      (1) 
0.25 
Ta có 
2 24
4
0
1
|
2 32
x
xdx



  (2) 
0.25 
4 4 4
4
0
0 0 0
1 1 1
sin 2 ( os2 ) cos2 | os2
2 2 2
x xdx xd c x x x c xdx
  


      = 40
1 1
sin 2 |
4 4
x

 (3) 0.50 
 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 6 
Thế (2), (3) vào (1) ta có: 
2 21 8
32 4 32
I
  
   
Câu 6 
(1.0 điểm) 
Ta có 
0.sin as 30
2
a
BO AB BAO in    ; 0
3
.sin as 60
2
a
AO AB ABO in    ; 0.25 
suy ra 
23 3
. .
2 2 4
ABD
a a a
S AO BO   ; 
Do đó 
2 3
.
1 1 3 6
. 2.
3 3 4 12
S ABD ABD
a a
V SH S a   
0.25 
Do đường thẳng AC cắt (SBD) tại điểm O là trung điểm của AC và đường thẳng AH cắt 
(SBD) tại B thoả mãn 
3
2
AB HB nên 
3
( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))
2
d C SBD d A SBD d H SBD  
(1) 
Kẻ ,HK BO HM SK  ( K thuộc BO, M thuộc SK). 
Ta có ( )BO SHK BO HM   do đó ( ) ( ,( ))HM SBD d H SBD HM   (2) 
0.25 
Trong tam giác vuông SHK có
2 3
2,
3 3
a
SH a HK AO   và HM là đường cao 
suy ra 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 7 14
72 2
a
HM
HM HS HK a a a
       (3) 0.25 
O
M
K
H
D
C
B
A
S
 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 7 
Kết hợp (1), (2), (3) ta có 
3 14
( ,( ))
14
a
d C SBD  
Câu 7 
(1.0 điểm) 
Kéo dài AH cắt CD tại E. Do ABCD hình 
thang (AB//CD) và H trung điểm BC nên 
dễ thấy HAB HEC   
14ADE ABCDS S   
0.25 
Ta có 132  AHAE 
và phương trình đường thẳng AE: 
2x -3y + 1 = 0. 
Do đỉnh D có hoành độ dương và D nằm 
trên đường thẳng (d) có phương trình 
015  yx 
 nên D(d; 5d+1) với d > 0 
0.25 
   
2 3(5 1) 11 2 28 28
. ; ;
2 13 13 13
ADE
ADE
d dS
S AE d D AE d D AE
AE


  
     
13 2 28d   
30
13 2 28 ( )
13
13 2 28
2( / )
d d loai
d
d t m

           
Từ đó D(2; 11) 
0.25 
E đối xứng với A qua H suy ra E(-2; -1) nên phương trình đường thẳng CD: 
3x – y + 5 = 0 
Đường thẳng AB qua A, song song với dt CD nên có pt: 3x – y – 2 = 0 
0.25 
Câu 8 Khoảng cách từ (1;3;0)A đến mặt phẳng (P) là: 0.25 
E
H
D C
BA
 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 8 
(1.0 điểm) 
2 2
2.1 2.3 0 1 9
3
32 2 1
d
  
  
 
. 
Đường thẳng AA' qua A nhận vectơ pháp tuyến của mp(P) là (2;2; 1)n  làm vectơ chỉ 
phương. 
Ta có phương trình tham số của đường thẳng 
1 2
AA': 3 2
x t
y t
z t
 

 
  
0.25 
Gọi I là giao điểm của đường thẳng AA' và mặt phẳng (P). 
Do I thuộc đường thẳng AA' nên (1 2 ;3 2 ; )I t t t   
0.25 
Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên 
 2(1 2 ) 2(3 2 ) ( ) 1 0 1 ( 1;1;1)t t t t I           
Vì I là trung điểm của AA' nên ta có '( 3; 1;2)A   
0.25 
Câu 9 
(0.5 điểm) 
Số phần tử của không gian mẫu là số phần tử của tập hợp S. 
Ký hiệu abcdef là một số bất kỳ thuộc S 
Ta thấy a có 6 cách chọn (do 0)a  ; b có 6 cách chọn (do )b a . 
Tương tự ta thấy: c có 5 cách chọn; d có 4 cách chọn; e có 3 cách chọn; f có 2 cách 
chọn. 
Vậy số phần tử của S là 6.6! 
0.25 
Gọi X là biến cố “chọn được số  300475 ”, suy ra X là biến cố “chọn được số 
300475 
Xét số 
1 2 3 4 5 6
a a a a a a thuộc S mà 
1 2 3 4 5 6
300475a a a a a a  , ta có 
1
3a  
TH1: 
1
2a  ; ta thấy 
1
a có 2 cách chọn; 
2
a có 6 cách chọn 
3
a có 5 cách chọn; 
4
a có 4 cách chọn; 
5
a có 3 cách chọn;
6
a có 2 cách chọn. 
0.25 
 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 9 
suy ra có 2.6! số 
1 2 3 4 5 6
300475a a a a a a  mà 
1
2a  . 
TH2: 
1
3a  . Ta thấy số 300475 có 2 chữ số 0 nên khi chọn một số 
2 3 4 5 6
3a a a a a bất kỳ 
trong tập S thì số đó luôn lớn hơn 300475 vì số thuộc tập S thì có các chữ số khác nhau 
nên 
2 3
,a a không đồng thời bằng 0; suy ra không có số 
2 3 4 5 6
3a a a a a trong S mà 
2 3 4 5 6
3 300475a a a a a  
Do đó 
2.6! 1
( )
6.6! 3
P X   
Xác suất cần tìm là 
2
( ) 1 ( )
3
P X P X   
Câu 10 
(1,0 điểm) 
Ta có 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
3 ( )
( ) ( ) ( )
F a b c
a b b c c a
 
     
   
Gọi min( , , )c a b c ; đặt ;a c x b c y    ta có , 0x y  và a b x y   
 2 2 22 2 2
1 1 1
3 ( ) ( )
( )
F c x c y c
x y x y
 
       
 
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
( 2 ( ) 3 ) ( )
( ) ( )
x y c x y c x y
x y x y x y x y
   
             
    
0.25 
Ta xét 
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1 1
( )
( ) ( )
x y x y
G x y
x y x y x y xy
    
        
    
2
2
2
2 ( )
1 2
( )
xy x y
x y xy
 
    
  
. 
Đặt 
2( )
2 ( 2)
x y
t t
xy

   ; ta có 
2
1
( ) 2
xy
x y t

 
0.25 
suy ra 
2 2 1 ( )
2
G t f t
t
   

0.25 
 >> Truy cập  để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 
3 2 2
2 2 2
2 2( 4 4 1) 2( 1)( 3 1)
'( ) 2
( 2) ( 2) ( 2)
t t t t t t
f t t
t t t
     
   
  
3 5
'( ) 0
2
f t t

   ( 2)do t  
Lập BBT ta có GTNN của ( )f t 1à 
3 5 11 5 5
( )
2 2
f
 
 . 
Vậy 
11 5 5
6
F

 , có “=” khi 
2 2
2 2 2
0; , 0
3 5
2
3
c a b
x y
xy
a b c
 

 


   
 hay 
2 2
2 22 2
0; , 0 0; , 0
3 5 9 3 5
2 2
33
c a b c a b
a b
ab
ab
a ba b
    
 
   
   
 
     
. Ta thấy hệ này luôn có nghiệm phân biệt. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 
11 5 5
6

0.25 
.....HẾT.....