Đề thi chọn HSG lớp 9 vòng huyện Phú Quốc năm học: 2013-2014 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG HUYỆN 
 HUYỆN PHÚ QUỐC NĂM HỌC: 2013-2014
 MÔN: TOÁN 
	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (4 điểm)
	Cho biểu thức A với 
	a. Rút gọn biểu thức A.
	b. Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2: (5 điểm)
	Ta đã biết: "- Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8.
	 - Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48."
	Chứng minh rằng với mọi số n lẻ thì:
	a/ A = n2 + 4n + 3 chia hết cho 8.
	b/ B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 chia hết cho 144.
	c/ C = n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8.
Bài 3: (4 điểm)
	1/ Tìm số nguyên dương để là số nguyên tố.
	2/ Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3.
Bài 4: (3 điểm)
	Cho tam giác ABC có góc A = 600, các phân giác BD và CE cắt nhau ở I. Chứng minh rằng IDE là tam giác cân.
Bài 5: (4 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) với C là tiếp điểm. Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N.
a/ Chứng minh tứ giác OMNB là hình bình hành.
b/ Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax.
.Hết.
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Năm học 2013-2014
BÀI 
Đáp án
Biểu điểm
Bài 1 
(4điểm)
a. A với 
b. A 
Có hoặc 
Từ đó tính được: x1 = 9; x2 = 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
1
0,5
Bài 2 
(5điểm)
a) Đặt A = n2 + 4n + 3 = (n2 + n) + (3n + 3)
	 = n(n + 1) + 3(n + 1) = (n + 1)(n + 3)
	Vì n lẻ nên (n + 1)(n + 3) là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8.
	Suy ra A chia hết cho 8.
b) B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 = 3(n3 + 3n2 - n - 3) = 3[(n3 - n) + (3n2 -3)]
 = 3[n(n2 - 1) + 3(n2 - 1)] = 3(n2 - 1)(n + 3)
 = 3(n - 1)(n + 1)(n + 3)
 Vì n lẻ nên (n - 1)(n + 1)(n + 3) là tích của 3 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 48. Suy ra B 3.48 = 144.
c) C = n2 + 4n + 5 = (n2 + 4n + 3) + 2
 Do n2 + 4n + 3 8 (theo câu a) và 2 8 nên C 8
0,75
0,5
0,75
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 3 
(4điểm)
1) 
Với n = 2k (ĐK: k>0) p = (k+1)(2k-1) nguyên tố mà k+1>1 
 2k-1=1 k = 1 n = 2; p = 2 (thỏa mãn)
Với n = 2k+1 (ĐK: k) p = 2(2k +3) nguyên tố mà 2k+3>1
 k = 1 n = 3; p = 5 (thỏa mãn)
2) Ta có b = 1 –a, do đó M = a3 + (1 – a)3
= 3a2 – 3a + 1 = 3a2 – 3a += 3(a )2 + 
Dấu bằng xẩy ra khi a . Vậy minM 
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
0,5
1
0,5
Bài 4
(3 điểm)
Do  = 600 nên B + Ĉ = 1200
 B1 + C1 = 600
 BIC = 1200
 I1 + I2 = 600
Vẽ phân giác IK của góc BIC
 I3 = I4 = 600
Khi đó: BIE = BIK (g-c-g)
 CID = CIK (g-c-g)
 IE = ID (cùng bằng IK)
 IDE cân tại I (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 5
(4 điểm)
Ta có OM^AC; BC^AC
Þ OM//BC hay OM//BN (1)	
Lại có: ∆ AOM=∆ OBN	(g-c-g)
 Þ OM=BN (2)	
Từ (1) và (2) Þ OMNB là hình bình hành	
 b)Gọi H là trực tâm của ∆MAC nên AH^MC
Lại có: OC^MC (MC là tiếp tuyến của (O)
Suy ra: AH//OC (3)
 Tương tự: OA//CH (4)
Từ (3) và (4) Þ AHCO là hình bình hành
AH=OC	
Mà OC=R nên AH=R
 Ngoài ra: A cố định. Do đó: H di động trên đường tròn cố định tâm A, bán kính R.	
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
 0,5
Hình bài 4 (0,5 điểm)	 A
 E	 D
 I
 1 2
 3 4
	 1	 1
 B C
 	 K 	 
A
B 
N
C
H
M
O
x
Hình vẽ bài 5: 0,5 điểm