PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG HUYỆN HUYỆN PHÚ QUỐC NĂM HỌC: 2013-2014 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức A với a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm giá trị của x để A nhận giá trị nguyên. Bài 2: (5 điểm) Ta đã biết: "- Tích của hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8. - Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48." Chứng minh rằng với mọi số n lẻ thì: a/ A = n2 + 4n + 3 chia hết cho 8. b/ B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 chia hết cho 144. c/ C = n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8. Bài 3: (4 điểm) 1/ Tìm số nguyên dương để là số nguyên tố. 2/ Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = a3 + b3. Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC có góc A = 600, các phân giác BD và CE cắt nhau ở I. Chứng minh rằng IDE là tam giác cân. Bài 5: (4 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Ax. Từ M thuộc Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) với C là tiếp điểm. Đường vuông góc với AB tại O cắt BC ở N. a/ Chứng minh tứ giác OMNB là hình bình hành. b/ Trực tâm H của tam giác MAC di động trên đường cố định nào khi M di động trên Ax. .Hết. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 Năm học 2013-2014 BÀI Đáp án Biểu điểm Bài 1 (4điểm) a. A với b. A Có hoặc Từ đó tính được: x1 = 9; x2 = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 Bài 2 (5điểm) a) Đặt A = n2 + 4n + 3 = (n2 + n) + (3n + 3) = n(n + 1) + 3(n + 1) = (n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên (n + 1)(n + 3) là tích của 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8. Suy ra A chia hết cho 8. b) B = 3n3 + 9n2 - 3n - 9 = 3(n3 + 3n2 - n - 3) = 3[(n3 - n) + (3n2 -3)] = 3[n(n2 - 1) + 3(n2 - 1)] = 3(n2 - 1)(n + 3) = 3(n - 1)(n + 1)(n + 3) Vì n lẻ nên (n - 1)(n + 1)(n + 3) là tích của 3 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 48. Suy ra B 3.48 = 144. c) C = n2 + 4n + 5 = (n2 + 4n + 3) + 2 Do n2 + 4n + 3 8 (theo câu a) và 2 8 nên C 8 0,75 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 3 (4điểm) 1) Với n = 2k (ĐK: k>0) p = (k+1)(2k-1) nguyên tố mà k+1>1 2k-1=1 k = 1 n = 2; p = 2 (thỏa mãn) Với n = 2k+1 (ĐK: k) p = 2(2k +3) nguyên tố mà 2k+3>1 k = 1 n = 3; p = 5 (thỏa mãn) 2) Ta có b = 1 –a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3a2 – 3a + 1 = 3a2 – 3a += 3(a )2 + Dấu bằng xẩy ra khi a . Vậy minM 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 1 0,5 Bài 4 (3 điểm) Do  = 600 nên B + Ĉ = 1200 B1 + C1 = 600 BIC = 1200 I1 + I2 = 600 Vẽ phân giác IK của góc BIC I3 = I4 = 600 Khi đó: BIE = BIK (g-c-g) CID = CIK (g-c-g) IE = ID (cùng bằng IK) IDE cân tại I (đpcm) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài 5 (4 điểm) Ta có OM^AC; BC^AC Þ OM//BC hay OM//BN (1) Lại có: ∆ AOM=∆ OBN (g-c-g) Þ OM=BN (2) Từ (1) và (2) Þ OMNB là hình bình hành b)Gọi H là trực tâm của ∆MAC nên AH^MC Lại có: OC^MC (MC là tiếp tuyến của (O) Suy ra: AH//OC (3) Tương tự: OA//CH (4) Từ (3) và (4) Þ AHCO là hình bình hành AH=OC Mà OC=R nên AH=R Ngoài ra: A cố định. Do đó: H di động trên đường tròn cố định tâm A, bán kính R. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 Hình bài 4 (0,5 điểm) A E D I 1 2 3 4 1 1 B C K A B N C H M O x Hình vẽ bài 5: 0,5 điểm
Tài liệu đính kèm: