Đề thi chọn HSG lớp 12 THPT Vĩnh Phúc năm học 2014-2015 môn: Toán - THPT

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,5 điểm).
a) Tìm tham số để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn .
	b) Chứng minh rằng với mọi , đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt . Gọi lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với tại và . Tìm để tổng đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện .
Câu 3 (1,5 điểm). 
 Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (1,5 điểm). 
 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có trung điểm của cạnh là điểm, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh đi qua điểm và đường thẳng chứa cạnh đi qua điểm . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác , biết rằng điểm đối xứng của đỉnh qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm .
Câu 5 (1,5 điểm). 
 Cho hình chóp thỏa mãn . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng .
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng: 
.
----------Hết---------
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
 Họ và tên thí sinh 	.Số báo danh.
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN – THPT
(Gồm 06 trang)
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 5 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Câu 1. (2,5 điểm)
Nội dung
Điểm
a) 1,0 điểm
Ta có 
0,25
 . Điều kiện cần và đủ để hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 4 trên đoạn có độ dài lớn hơn 4 có hai nghiệm thoả mãn 
0,25
.
0,25
Vậy hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn hơn 
0,25
b)
1,5 điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của và : 
Đặt 
0,25
Vì nên có hai nghiệm phân biệt khác với mọi .
0,25
Vậy luôn cắt tại hai điểm phân biệt với mọi .
Gọi với là hai nghiệm của . Theo định lý Vi-ét ta có .
0,25
Tiếp tuyến tại có hệ số góc là 
Ta có 
0,25
Dấu bằng xẩy ra 
0,25
Vậy đạt giá trị lớn nhất bằng khi .
0,25
Câu 2. (2,0 điểm)
Nội dung
Điểm
a) Giải phương trình:
1,0 điểm
 Phương trình 
0,25
0,25
0,25
Vậy phương trình có một họ nghiệm 
0,25
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn điều kiện .
1,0 điểm
Ta xét 4 trường hợp sau:
TH1. 
Mỗi số là một tổ hợp chập 3 của chín phần tử suy ra số các số thỏa mãn là .
0,25
TH2. 
Mỗi số là một tổ hợp chập 2 của chín phần tử suy ra số các số thỏa mãn là .
0,25
TH3. 
Mỗi số là một tổ hợp chập 2 của chín phần tử suy ra số các số thỏa mãn là .
0,25
TH4. 
Số các số thỏa mãn là .
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
0,25
Câu 3. (1,5 điểm)
Nội dung
Điểm
Điều kiện 
0,25
Xét hàm số . Vậy hàm số đồng biến trên . Từ ta có 
0,25
Thay vào ta được phương trình: 
Phương trình 
0,25
Từ là một nghiệm của hpt. 
0,25
Từ phương trình vô nghiệm do 
0,25
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất .
0,25
Câu 4 (1,5 điểm)
Nội dung
Điểm
Gọi là trực tâm của tam giác , ta chứng minh được là hình bình hành nên là trung điểm của suy ra . Đường thẳng có vtcp là vtpt là .
0,50
Do nên vtpt của là 
Do nên vtpt của là .
0,25
Do là giao của và nên tọa độ là nghiệm của hệ phương trình
0,25
Do là trung điểm của nên . Vì vuông góc với nên có vtpt là 
Do là giao điểm của và nên tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
. 
0,25
Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác là 
0,25
Câu 4 (1,5 điểm)
Nội dung
Điểm
Ta thấy là hình thoi, tam giác cân tại suy ra 
0,50
Gọi là giao điểm của và , ta thấy 
Suy ra nên vuông tại .
Xét ta có 
0,25
Thể tích 
0,25
Gọi là trung điểm của nên 
Suy ra 
Thể tích (1).
0,25
Ta có ( sử dụng công thức đường trung tuyến)
Theo định lý hàm số cosin trong ta có 
Vậy (2).
Thay (1), (2) vào ta được .
0,25
Câu 6. (1,0 điểm)
Nội dung
Điểm
1,0 điểm
 Không mất tổng quát giả sử . Mà 
0,25
 Nhận xét ta có bất đẳng thức thật vậy 
 ( đúng )
 ( do ). Đặt mà 
0,25
Áp dụng ta có 
Xét hàm số 
Có đạo hàm , 
0,25
 Lập Bảng biến thiên 
Dấu bằng khi và chỉ khi 
 Vậy nếu thỏa mãn , thì dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi .
0,25
. Hết.