Đề thi chọn HSG lớp 11 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2014-2015 môn: Toán (dành cho học sinh THPT không chuyên)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm). 
a) Tìm tập xác định của hàm số .
b) Giải phương trình: .
Câu 2 (1,0 điểm). Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa mãn 
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm hệ số của trong khai triển Niu – tơn của biểu thức , biết rằng là số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: .
Câu 4 (1,0 điểm). Cho dãy số được xác định bởi: Tính:
.
Câu 5 (1,0 điểm). Chứng minh rằng phương trình ẩn sau luôn có nghiệm dương:
.
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC không là tam giác vuông, nội tiếp trong đường tròn (I). Kẻ đường kính AM của đường tròn (I). Đường thẳng đi qua đỉnh A, vuông góc với BC và cắt đường tròn (I) tại điểm N (N khác A). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng , đường thẳng BC đi qua điểm , đường thẳng AC đi qua điểm và hoành độ điểm B lớn hơn 3.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua B, trọng tâm tam giác SAC và song song với AC. Mặt phẳng (P) cắt các đường thẳng AD, CD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và B là trung điểm của đoạn thẳng MN (với O là giao điểm của AC và BD).
Câu 8 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có , , , . Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AC, BC và gọi L là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng SK. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và HL vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Câu 9 (1,0 điểm). Chứng minh rằng với mọi số thực dương ta có bất đẳng thức sau: 
.
-------------Hết-----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án có 05 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT không chuyên)
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1
(2,0 điểm)
a.(1,0 điểm)
Hàm số xác định khi và chỉ khi 
0,5
0,25
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là: 
0,25
b.(1,0 điểm)
0,25
0,25
+) 
.
0,25
+) .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm 
0,25
2
(1,0 điểm)
Gọi A là biến cố “chọn ra được một số tự nhiên chẵn từ tập M đồng thời thỏa mãn ”. Khi đó: (số có sáu chữ số đôi một khác nhau thì có chín cách chọn, là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử nên có ).
0,25
TH1: thì có cách chọn.
TH2: thì có cách chọn.
TH3: thì có cách chọn.
0,5
Do đó .
0,25
3
(1,0 điểm)
Nhận xét. .
0,25
Ta có 
 (1).
+) Nếu vô lí.
+) Nếu vô lí.
Do đó .
0,5
Theo khai triển nhị thức Niu – tơn ta có:
Hệ số của ứng với . Do đó hệ số của là: 
0,25
4
(1,0 điểm)
Do . Ta có , 
0,5
0,25
Suy ra 
Vậy .
0,25
5
(1,0 điểm)
Đặt . Tập xác định liên tục trên .
0,25
Ta có suy ra .
0,5
Do đó phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng .
0,25
6
(1,0 điểm)
Do , kết hợp với AN vuông góc BC suy ra BC song song với MN hay đường thẳng MN có vtcp là . Do đó phương trình đường thẳng .
0,25
AH vuông góc với MN nên AH có vtpt là suy ra phương trình đường thẳng AH: .
Gọi K là giao điểm của AH và BC suy ra K là trung điểm HN và tọa độ K là nghiệm của hệ phương trình:
, kết hợp với K là trung điểm HN suy ra .
0,25
Gọi E là trung điểm BC, do tứ giác BHCM là hình bình hành suy ra E là trung điểm HM suy ra .
B thuộc đường thẳng BC nên , kết hợp với E là trung điểm của BC suy ra . Ta có 
0,25
Do H là trực tâm tam giác ABC nên 
, kết hợp với . Vậy tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là (A là giao của đường thẳng AH và AC)
0,25
7
(1,0 điểm)
Tam giác SAC cân tại S, O là trung điểm của AC suy ra SO vuông góc với AC.
Tam giác SBD cân tại S, O là trung điểm BD suy ra SO vuông góc với BD.
Do đó SO vuông góc với (ABCD).
0,25
Mặt phẳng qua B, G (trọng tâm tam giác SAC) song song với AC cắt SA, SC, SD lần lượt tại E, F, H. Do AC||(EFH) suy ra AC||EF.
M là giao của (EFH) với AD suy ra M là giao của EH và AD, N là giao của (EFH) với CD suy ra N là giao của FH với CD.
0,25
Do B, M, N là điểm chung của hai mặt phẳng (EFH) và (ABCD) nên B, M, N cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng này suy ra B, M, N thẳng hàng.
0,25
Do AC||(EFH) suy ra AC||MN (1).
EF||AC suy ra (2).
Từ (1) và (2) suy ra hay B là trung điểm của MN.
0,25
8
(1,0 điểm)
Theo định lí hàm số cô sin trong các tam giác SAB, SAC, SBC ta được:
tam giác ABC vuông tại B.
0,25
H là trung điểm AC nên SH vuông góc với AC, SH vuông góc với BH suy ra SH vuông góc với mặt phẳng (ABC).
0,5
H, K là trung điểm CA, CB suy ra HK||AB (1).
Mặt khác SH vuông góc (ABC) suy ra (2).
Từ (1) và (2) suy ra , kết hợp với .
0,25
9
(1,0 điểm)
Đặt , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại dưới dạng: (1).
TH1. Nếu thì 
 suy ra (1) đúng.
0,5
TH2. Nếu thì 
Do đó (1) đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
0,5
----------------------Hết----------------------