Đề thi chọn HSG lớp 10 THPT tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013 – 2014 môn Toán (Đề đề xuất)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ ĐỀ XUẤT
KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Cho phương trình bậc hai , trong đó là ẩn, là tham số. Tìm tất cả các giá trịcủa để phương trình đã cho có hai nghiệm và đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Cho tam thức bậc hai . Chứng minh rằng nếu với mọi thì .
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình 
Câu 3 (2,0 điểm) 
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
Giải bất phương trình 
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABCnhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O), trọng tâm G và . Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Chứng minh rằng nếu bốn điểm A, O, M, G cùng nằm trên một đường tròn thì .
Cho tam giác ABC không vuông và . Chứng minh rằng nếu và thì ABC là một tam giác cân.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc ; cho tam giác ABC có tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp, trong tâm lần lượt có tọa độ là . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng và điểm nằm trên đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC.
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1
(3,0 điểm)
1a (2,0 điểm)
Phương trình đã cho có hai nghiệm 
0,5
Theo định lí Vi – ét ta có 
0,25
Do đó 
0,5
Lập bảng biến thiên của hàm số trên ta được
Từ bảng biến thiên ta được đạt giá trị nhỏ nhất khi .
0,75
1b (1,0 điểm)
Do với mọi nên .
Mặt khác với mọi 
0,5
Ta có .
0,5
2
(2,0 điểm)
2a (1,0 điểm)
Đkxđ 
Phương trình đã cho tương đương với:
0,5
0,25
Kết hợp với đkxđ ta được . Vậy tập nghiệm của phương trình là .
0,25
2b (1,0 điểm)
Đkxđ: 
Từ phương trình đầu của hệ ta có:
0,5
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
So sánh với đkxđ ta được .
0,5
3
(2,0 điểm)
3a (1,0 điểm)
Ta có 
0,25
0,25
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho ba số dương ta được:
0,25
Cộng từng vế hai bất đẳng thức trên ta được .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy bđt được chứng minh.
0,25
3b (1,0 điểm)
Đkxđ . Đặt suy ra , thay vào bất phương trình ta được:
0,25
0,25
0,25
Kết hợp với đkxđ ta được tập nghiệm là .
0,25
4
(3,0 điểm)
4a (1,0 điểm)
Ta có 
0,25
.
Do 4 điểm A, G, O, M cùng nằm trên một đường tròn nên OG vuông góc với GA hay
0,5
0,25
4b (1,0 điểm)
Ta có . Tương tự ta tính được 
0,5
Theo giả thiết 
0,25
Hay tam giác ABC cân
0,25
4c (1,0 điểm)
Ta chứng minh 
0,25
Suy ra .
Do B là giao của (d) và đường thẳng MH nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
.
Gọi N là trung điểm của AC. Khi đó 
0,25
Ta có .
Do A thuộc đường thẳng AC nên , kết hợp với là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên 
0,25
+) Với 
+) Với 
Vậy hoặc 
0,25