Đề thi chọn hsg lớp 10, 11 THPT năm học 2015 - 2016 đề thi môn: Toán 10

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ THI MÔN: TOÁN 10 - THPT
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1 (1,5 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số sau có tập xác định là 
Câu 2 (2,5 điểm). 
a) Giải bất phương trình 
b) Giải phương trình 
Câu 3 (1,0 điểm). Cho phương trình , trong đó là tham số. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn 
Câu 4 (3,0 điểm). 
a) Cho hình vuông là trung điểm của Tìm điểm trên đường thẳng sao cho không trùng với và đường thẳng vuông góc với đường thẳng 
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho hình chữ nhật có , điểm nằm trên đường thẳng . Gọi giao điểm của đường tròn tâm bán kính với đường thẳng là . Hình chiếu vuông góc của trên đường thẳng là điểm Tìm tọa độ các điểm 
c) Cho tam giác không vuông với độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh lần lượt là , độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh là . Tính , biết 
Câu 5 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 
Câu 6 (1,0 điểm). Cho hai số thực dương thỏa mãn và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
------Hết------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
(Đáp án có 04 trang)
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 10 - THPT
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN:
Câu
Nội dung trình bày
Điểm
1
(1,5 điểm)
Hàm số có tập xác định khi và chỉ khi 
0,25
Với ta có Do đó thỏa mãn.
0,25
Với 
0,5
0,25
 Vậy 
0,25
2
a (1,5 điểm) 
Điều kiện xác định: 
0,25
Bất phương trình tương đương: 
0,25
0,25
0,5
Vậy nghiệm của bất phương trình là hoặc 
0,25
b (1,0 điểm) 
Điều kiện xác định: hoặc 
PT đã cho tương đương 
0,25
Đặt , ta được PT: 
 hoặc 
0,25
Với thì 
0,25
Với thì Vậy các nghiệm của PT là 
0,25
3
(1,0 điểm)
PT 
0,25
Yêu cầu bài toán tương đương: Tìm m để có hai nghiệm phân biệt khác thỏa mãn 
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác khi 
0,25
Theo định lí Viet ta có . Khi đó 
Do đó 
0,25
 hoặc . Kết hợp với điều kiện ta được , 
0,25
4
(3,0 điểm)
a (1,0 điểm)
Gọi là độ dài cạnh hình vuông ABCD. Đặt thì và Giả sử thì 
0,25
Suy ra và 
0,25
Ta có 
0,25
. Vậy, điểm nằm trên thỏa mãn 
0,25
b (1,0 điểm)
Gọi , do nên, suy ra 
0,25
CN có véc tơ pháp tuyến nên phương trình 
Tọa độ C thỏa mãn hệ , suy ra 
0,25
Do và nên C là trung điểm DE, suy ra . Do đó D đối xứng với N qua AC.
0,25
Phương trình , từ đó suy ra Do nên 
Vậy 
0,25
c (1,0 điểm)
Vẽ đường cao BM và CN của tam giác ABC (). Gọi K là trung điểm của BC, qua K kẻ đường thẳng song song với CN và BM cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Khi đó E là trung điểm BN và F là trung điểm CM. 
0,25
Bốn điểm nằm trên đường tròn đường kính , theo định lý sin trong tam giác EKF ta được .
0,25
Áp dụng định lý cosin trong tam giác EKF ta được :
0,25
 (vì ).
0,25
5
(1,0 điểm). Giải hệ 
Cộng tương ứng hai vế của (1) và (2) ta được 
0,25
0,25
Thế vào ta được: 
0,25
Vậy hệ có nghiệm là: 
0,25
6
(1,0 điểm).
Ta có (1), mà , suy ra
Đặt ta được .
0,25
Ta có (theo (1))
0,25
Mặt khác 
0,25
Do đó . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy .
0,25
-------Hết-------