Đề thi chọn HSG huyện Ân Thi năm học 2009-2010 môn thi: Toán 9

 ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN Ân thi . Năm học 2009-2010
 Môn thi : Toán 9 ( Thời gian 150 phút)
 Bài1(1,5đ) 
 a/ Tính 
 b/ Cho a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. Chứng tỏ rằng 
 = || 
 c/ Hãy chứng tỏ là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0
 Bài2(2đ) 
 a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức 
	Với x = 
b/ Giải phương trình 
 Bài3(2,5đ) 
 a/ Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) 
 Viết phương trình đường thẳng đi qua A, C . Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C 
 Bài4(3đ) Cho hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong EF ( A ,E (O) , B , F (O’) ) 
a/ Gọi M là giao điểm của AB và EF . Chứng minh rằng AOM và BMO’ đồng dạng
b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF 
c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF . Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng 
 Bài5(1đ) Cho hình vuông ABCD . Tính cos biết rằng M ,N theo thứ tự là trung điiểm của BC, CD
Đáp án thang điểm
Bài 1: 
 a/ = = 
 = | | - | | = = 
 b) CM = 
 Ta có = 
 Mà a +b +c = 0 , a,b,c ≠0. => = 0 
 Vậy = = 
 c) Hãy chứng tỏ là nghiệm của phương trình x3 +3x – 4 = 0
 Tacó : x3 = 
 = 4 – 3 = 4 - 
 = 4 – 3x
 * x3 = 4 – 3x x3 + 3x + 4 = 0 
 Vậy là nghiệm của PT x3 + 3x + 4 = 0 
Bài2(2đ) 
 a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức 
	Với x = 
 Giải : ĐK : x > 0 , y > 0 
= 
= :
= : 
= : 
= 
 Khi x = thì A = 
	=> A2 = 4 – 2 = 2 Do A A = -
 b/ Giải phương trình (1)
 ĐK: x 7 
=> 
 2x + 2 + 2( ) = 16 
 2( ) = 16 – 2( x + 1)
 = 8 – (x + 1) (2)
 Nếu 8 – ( x+ 1) x + 1 > 8 x > 7 thì (2) Vô nghiệm => (1) Vô nghiệm
 Nếu 8 – ( x+ 1) 0 x + 1 8 x 7 
 Kết hợp với ĐK đầu bài => x = 7 . Thử x = 7 vào pt(2) ta có 0 = 0
 Vậy x = 7 là nghiệm của pt (2) là nghiệm của PT (1) 
Bài3(2,5đ) 
Ta có B = 
 GTLN B = 3 khi và chỉ khi x = -1
 B = 
 GTNN B = khi và chỉ khi x = 1
 b)	y
 4 
A
 O	 C	x
	3
 Đường thẳng đi qua hai điểm A( 0 ;4) và C( 3; 0) có dạng y = ax + b 
 A(0;4) đường thẳng y = ax + b 4 = a.0 + b b = 4 
 B(3;0) đường thẳng y = ax + b 0 = a.3 + b 3a + 4 = 0 a = 
 Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A và C là : y = x + 4 
 Đường thẳng y = ax là đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cạnh BC của hcn OABC tại M(3; y0) (y0 > 0) sao cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , trong đó diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C nghĩa là SOMC = SOABC
 (1)
 Mà OC = |3| = 3 , CM = | y0| = y0 ( do y0 > 0), OA = | 4| = 4 , OC = | 3| = 3
 Từ (1) tacó .3.y0 = . 4. 3 y0 = 
 Vậy đường thẳng y =ax đi qua M(3; ) = a.3 a = 
 Bài 4: 
 a) Chứng minh rằng AOM và BMO’ đồng dạng
Ta có AB là tiếp tuyến của (O) => 
AB là tiếp tuyến của (O’) => 
EF là tiếp tuyến của (O’) và (O’) => OM là phân giác , O’M là phân giác 
Xét tứ giác BO’FM có = 1800 
 = 1800 
 => 
 Mà (OM là phân giác AME )
 ( O’M là phân giác BO’F)
=> O2’ = M2 
Mà OAM = O’BM = 1V 
 => AOM đồng dạng BMO’ ( g-g)
 b/ Chứng minh rằng AE vuông góc với BF 
 Ta có OM là đường trung trực của AE => OM AE
 O’M là đường trung trực của BF => O’M BF 
 Mà O1’ =O2’ , M1 = M2 , O2’ = M2 => O1’ = M1
 Ta có FMO’ + O1’ = 900 => FMO’ + M1 = 900 => O’MO = 900 
 => O’M MO 
 Mà O’M BF => BF // MO , OM AE ( cmt) => BF AE 
c/ Gọi N là giao điểm của AE và BF . Chứng minh rằng ba điểm O , N , O’ thẳng hàng 
Bài5(1đ) 
 Đặt BAM = DAN = và cạnh hình vuông là 2a thế thì BM = DN = a 
 Suy ra AM = AN = a ( theo định lý pitago trong tam giác vuông có cạnh a, 2a)
 Vậy cos =
 Và sin MAN = cos 2 ( hai góc phụ nhau) 
 = 2cos2 - 1 = 
 Mà sin2MAN + cos2MAN = 1 => cos2MAN = 1 – sin2MAN = 1 - 
 => cosMAN =