Đề thi chọn học sinh năng khiếu môn Toán Lớp 6 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Phù Ninh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6
Năm học 2015 - 2016
Môn: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm) 
 a) Chứng minh các phân số sau đây bằng nhau: ; ; 
 b) Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh hai phân số: và 
Câu 2. (4,0 điểm)
Cho: C = 2 + 22 + 23 + + 299 + 2100 
	a) Chứng minh rằng C chia hết cho 31
	b) Tìm x để 22x -1 - 2 = C
Câu 3. (4,0 điểm)
Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển vở loại 1. Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại.
Câu 4. (5,0 điểm) 
Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD bằng 3cm.
a) Tính độ dài đoạn thẳng CD.
b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính độ dài đoạn thẳng BM.
c) Biết góc DAC = 120O. Vẽ Ax và Ay lần lượt là các tia phân giác của góc BAC và góc BAD. Tính số đo góc xAy.
d) Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB không chứa điểm D, nếu vẽ thêm n tia gốc A phân biệt không trùng với các tia AB, AC, Ax thì có tất cả bao nhiêu góc đỉnh A được tạo thành?
Câu 5. (3,0 điểm) 
a) Tìm x, y N, biết 2x + 624 = 5y . 
b) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức : A = | x - y | + | x + 1 | + 2016 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 
-------------------------Hết------------------------
Họ và tên thí sinh: . Số báo danh ..............
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HD CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 6
Năm học 2015 - 2016
Môn: TOÁN
Câu 1. (4,0 điểm) 
a)
2.0đ
Vậy	
0,75
0,75
0,5
b).
2.0đ 
	 mà (1)
Ta có : và (2) 
Từ (1) và (2) 
0,75
0,75
0,5
Câu 2. (4,0 điểm)
a) 
2,0đ
C = 2 + 22 + 23 + .. + 299 + 2100
= 2(1 +2 + 22+ 23+ 24) + 26(1 + 2 + 22+ 23+ 24)++ (1 + 2 + 22+ 23+ 24).296
 = 2 . 31 + 26 . 31 +  + 296 . 31 = 31(2 + 26 ++296). 
Vậy C chia hết cho 31
1,0
1,0
b)
2,0đ
 C = 2 + 22 + 23 + .. + 299 + 2100 
2C = 22 + 23 + 24 + ...+ 2100 + 2101
Ta có 2C – C = 2101 – 2 
à 2101 = 22x-1 
à2x – 1 = 101 
à 2x = 102 
 à x = 51
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 3. (4,0 điểm)
 - Vì số trang của mỗi quyển vở loại 2 bằng số trang của 1 quyển loại 1. Nên số trang của 3 quyển loại 2 bằng số trang của 3.= 2 quyển loại 1
- Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2. Nên số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3. 
- Do đó số trang của 8 quyển loại 1 bằng: (8 : 2) . 4 = 16 (quyển loại 3)
	Số trang của 9 quyển loại 2 bằng: (9 : 3) . 4 = 12 (quyển loại 3)
Vậy 1980 chính là số trang của 16 + 12 + 5 = 33 (quyển loại 3)
- Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là : 1980 : 33 = 60 ( trang)
	Số trang 1 quyển vở loại 2 là (trang)
	Số trang 1 quyển vở loại1 là; ( trang)
0,75
0,75
1,0
0,5
0,5
0,5
 Câu 4. (5,0 điểm)
a
Vì điểm D thuộc tia đối của tia BC nên điểm B nằm giữa hai điểm C và D, ta có: CD = BC+ BD = 6+3 = 9 (cm) 
0,5
0,5
b
Vì M là trung điểm của đoạn CD nên CM = MD = CD: 2= 4,5 (cm)
CM < CB nên điểm M nằm giữa hai điểm C và B
Ta có: BC= BM + CM BM = BC- CM= 6 – 4,5 =1,5 (cm)
1,0
c
Vì Ax là tia phân giác của góc BAC nên 
Vì Ay là tia phân giác của góc BAD nên 
Vì điểm B nằm giữa hai điểm C và D nên tia AB nằm giữa hai tia AC và AD ==1200.
Vì Ax là tia phân giác của góc BAC, Ay là tia phân giác của góc BAD nên tia AB nằm giữa hai tia Ax, Ay 
1,0
1,0
d
Ta có n + 3 tia gốc A phân biệt (kể cả các tia AB, AC, Ax)
Mỗi tia trong n + 3 tia hợp với n + 2 tia còn lại một góc. Có n + 3 tia như vậy nên có tất cả (n + 3)(n + 2) góc. Tính như thế mỗi góc đã được tính hai lần nên có tất cả (n + 3)(n + 2): 2 góc đỉnh A.
1,0
	Câu 5. (3,0 điểm)
a, Nếu x = 0 thì 20 + 624 = 5y 625 = 5y 5y = 54 y = 4
 Nếu x 0 thì 2x là số chẵn 2x + 624 là số chẵn
 Mà 5 là số lẻ 5y là số lẻ Với x, yN, x 0 thì 2x + 624 5y
 Vậy x = 0, y = 4.
0,5
0,25
0,5
0,25
b, Vì |x - y | 0 với mọi x, y ; |x + 1 | 0 với mọi x
 A 2016 với mọi x,y . 
 A đạt giá trị nhỏ nhất khi 
Vậy với x = y = - 1 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2016
0,5
0,25
0,5
0,25