Đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 8 THCS năm học 2013 - 2014 môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN
Đề chính thức
Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi có: 01 trang
Câu 1 (4 điểm)
	a) Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thoả mãn (x + 1)y = x2 + 4.
	b) Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1.
Câu 2 (3 điểm)
	Cho biểu thức .
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm giá trị của P với và .
Câu 3 (4 điểm)
	a) Cho các số a, b, c thoả mãn .
 Chứng minh rằng: .
	b) Giải phương trình .
Câu 4 (7 điểm)
Cho Tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, kẻ MF vuông góc với AC (EAB; FAC )
	a) Chứng minh: FC.BA + CA.B E = AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của M.
	b) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định.
	c) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất.
Câu 5 (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z. Biết rằng x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 1007 - .
.......... Hết .........
Họ và tên thí sinh:..SBD:
Cán bộ coi thi không cần giải thích gì thêm./.HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 8 THCS 
NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm có: 04 trang
A. Một số chú ý khi chấm bài.
Đáp án dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải cách khác mà đúng thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
B. Đáp án và thang điểm.
Câu 1 (4 điểm)
	a) Tìm các cặp số tự nhiên (x, y) thoả mãn (x + 1)y = x2 + 4.
	b) Tìm số nguyên dương n để n5 +1 chia hết cho n3 +1.
a) Ta có (*)
0,5đ
Vì nên từ (*) suy ra Ư(5) và 
0,5đ
- Với x + 1 = 1 . Suy ra x = 0, y = 4.
0,5đ
- Với x + 1 = 5 . Suy ra x = 4, y = 4.
Vậy, các cặp số tự nhiên (x;y) cần tìm là: (0;4), (4,4).
0,5đ
b) Ta có 
0,5đ
0,5đ
- Với n = 1 thì n - 1 = 0
0,5đ
- Với n > 1 thì không thể xảy ra khả năng .
Vậy, n = 1 là giá trị duy nhất cần tìm.
0,5đ
Câu 2 (3 điểm)
	Cho biểu thức .
	a) Rút gọn P.
	b) Tìm giá trị của P với và .
ĐKXĐ: .
0,25đ
a) 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b) ; 
0,5đ
Ta có x = 0 (loại, vì không thỏa mãn ĐKXĐ)
0,25đ
Với x = 1; y = ta tính được P = 3;
Với x = 1; y = ta tính được .
0,5đ
Câu 3 (4 điểm)
	a) Cho các số a, b, c thoả mãn .
 Chứng minh rằng: .
	b) Giải phương trình .
a) Ta có: 
1,0đ
Tương tự, ta có: 
0,5đ
Do đó: 
0,5đ
b) .
0,5đ
Đặt , PT trên trở thành: 
0,5đ
- Với t = 19 
0,5đ
- Với t = -19 PT này vô nghiệm, vì .
Vậy, tập nghiệm của PT đã cho là: .
0,5đ
Câu 4 (7 điểm)
Cho Tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AC (EAB; FAC)
	a) Chứng minh: FC.BA + CA.B E = AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của M.
	b) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định.
	c) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất.
a) Ta có MF//AB (vì cùng vuông góc với AC) nên 
ME//AC (vì cùng vuông góc với AB) nên 
0,5đ
0,5đ
Suy ra 
0,5đ
Tứ giác AEMF có nên là hình chữ nhật
Chu vi tứ giác AEMF bằng 2(AE + AF).
0,5đ
Mặt khác, AF = ME, ME = BE (vì vuông cân tại E)
Chu vi tứ giác AEMF bằng: 2(AE + BE) = 2AB (không đổi).
Chu vi tứ giác AEMF không phụ thuộc vào vị trí của M.
0,5đ
b) Gọi I là trung điểm của BC, O là giao điểm của AM và EF, đường thẳng qua M vuông góc với EF tại H và cắt tia AI tại N.
0,5đ
Ta có (cùng phụ với góc MEF);
 (vì AEMF là hình chữ nhật) .
Lại có (vì các tam giác BEM, MFC lần lượt vuông cân tại E, F)
 hay , mà nên .
0,5đ
0,5đ
Tam giác ABC vuông cân tại A nên .
Tam giác AMN có MI vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên tam giác AMN cân tại M MI là trung trực của AN N đối xứng với A qua BC
N là điểm cố định.
Vậy, đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua điểm N cố định.
1,0đ
c) Ta có lớn nhất lớn nhất.
0,5đ
Theo phần a) thì AE + AF = AB (không đổi) nên tích AE.AF lớn nhất 
M là trung điểm của BC. 
1,0đ
Vậy, khi M là trung điểm của BC thì tứ giác MEAF có diện tích lớn nhất là .
0,5đ
Câu 5 (2 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + z. Biết rằng x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện y2 + yz + z2 = 1007 - .
Ta có y2 + yz + z2 = 1007 - 
 (1)
1,0đ
Vì nên từ (1) suy ra: 
0,5đ
0,25đ
Vậy, 
0,25đ
----Hết----