Đề thi chọn học sinh năng khiếu cấp huyện năm học 2012 - 2013 môn Toán lớp 8

PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
( Đề thi có 01 trang )
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2012 - 2013
 MÔN TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm). 
	a) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: .
	b) Cho số (với ). Chứng minh rằng A là một số chính phương.
Câu 2 (3,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện và . Tính giá trị của biểu thức .
Câu 3 (5,0 điểm). Giải các phương trình:
	a) .
	b) .
Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn, sao cho BH = 4cm và CH = 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.
	a) Chứng minh: AH2 = BH.CH và AB2 = BH.BC;
	b) Tính độ dài DE;
	c) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH;
	d) Tính diện tích tứ giác DENM.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho . Chứng minh rằng .
––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh .................................................................................... SBD ...................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn Toán - Lớp 8
Lưu ý: Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với hướng dẫn chấm./.
Câu 1 (4,0 điểm). 
	a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: .
	b) Chứng minh rằng số là một số chính phương.
Đáp án
Điểm
a) Ta có: 
1,00
* Lập bảng:
x - 3
-1
1
-5
5
x
2
4
-2
8
y - 2
-5
5
-1
1
y
-3
7
1
3
Tính đúng mỗi cột được 0,25 điểm
1,00
b) Ta có: 
1,00
Đặt 
Vậy A là một số chính phương
1,00
Câu 2 (3,0 điểm). Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện và . Tính giá trị của biểu thức 
Đáp án
Điểm
Từ gt và 
0,50
0,50
1,00
. Vậy B = 1
1,00
Câu 3 (5,0 điểm). Giải các phương trình:
	a) 
	b) 
Đáp án
Điểm
a) Phân tích được: 
1,00
Chỉ được: với mọi x
1,00
Tìm được x = 1; x = -2,5.
0,50
b) ĐKXĐ: .
0,25
1,00
1,00
Vì x = 1 không thỏa mãn nên PT có nghiệm duy nhất x = 0.
0,25
Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn, sao cho BH = 4cm và CH = 9cm. Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và AC.
	a) Chứng minh: và ;
	b) Tính độ dài DE;
	c) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH;
	d) Tính diện tích tứ giác DENM.
Đáp án
Điểm
* Vẽ hình: 
0,50
a) Xét tam giác AHB và tam giác CHA có: ; ( cùng phụ với ), suy ra: ( g-g) 
0,50
0,25
Xét tam giác AHB và tam giác CAB có: ; - chung, suy ra: ( g-g)
0,50
0,25
b) Chứng minh tg ADHE là hình chữ nhật ( 3 góc vuông)
0,50
0,50
Mà . Vậy DE = 6cm
0,50
c) Gọi O là giao điểm của AH và DE, chứng minh ( cạnh huyền - cạnh góc vuông) 
0,50
mà OH = OD ( tính chất HCN) OM là đường trung trực của DH
0,25
( K là giao điểm của OM và HD)
0,25
Trong tam giác HDB có: K là trung điểm của HD, KM // DB ( cùng vuông góc với HD) M là trung điểm của HB.
0,50
d) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, có: ; CMTT: EN = 4,5cm
0,50
Diện tích hình thang DENM là: 
0,50
Câu 5 (2,0 điểm). Cho . Chứng minh rằng .
Đáp án
Điểm
Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + 1, suy ra 
0,25
Xét hiệu: 
0,50
0,50
0,50
Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 0, hay a = b = c = 1.
0,25
-------------------HẾT---------------