Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện năm học 2011 – 2012 - Đề thi môn Toán lớp 8

UBND HUYỆN GIỒNG RIỀNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG HUYỆN
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2011 – 2012
 ----------------- Khĩa ngày 06/11/2011
ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm)
a/ Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
b/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
Bài 2: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a/ x3 + y3 + z3 – 3xyz 
b/ x4 + 2011x2 + 2010x + 2011
Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3
b/ Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4
Bài 4: (4 điểm)
Cho hình thang cân ABCD cĩ gĩc ACD = 600, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao? 
Bài 5: (4 điểm)
Cho hình bình hành ABCD cĩ E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.
a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF đồng quy.
b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành.
---HẾT---
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN 8
(THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011 – 2012)
----------------------
Bài 1: (4 điểm)
a/ 
Ta phải chứng minh: A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 9 với n Z
A = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8
 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 	(0,5đ)
 = 3n3 – 3n + 9n2 + 18n + 9	(0,5đ)
 = 3n(n – 1)(n + 1) + 9n2 + 18n + 9	(0,5đ)
Nhận thấy n(n – 1)(n + 1) 3 nên 3n(n – 1)(n + 1) 9 Và 9n2 + 18n + 9 9
Vậy A 9	(0,5đ)
b/ 5n+2 + 26.5n + 82n+1 = 25.5n + 26.5n + 8.82n = 	(0,5đ)
 = 5n(59 – 8) + 8.64n 	(0,5đ)
 = 59.5n + 8(64n – 5n) 	(0,5đ)
 59.5n 59 và 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59 	
 vậy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59	(0,5đ)
Bài 2: (4 điểm)
a/ x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y)3 – 3xy(x + y) + z3 – 3xyz =
= (x + y + z)3 – 3z(x + y)(x + y + z) – 3xy(x + y + z) 	(0,5đ)
= (x + y + z)[(x + y + z)2 – 3z(x + y) – 3xy] 	(0,5đ)
= (x + y + z)[x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx – 3zx – 3zy – 3xy] 	(0,5đ)
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) 	(0,5đ)
b/ x4 + 2011x2 + 2010x + 2011 =
= x4 + x3 + x2 + 2010x2 + 2010x + 2010 – x3 + 1	(0,5đ)
= x2(x2 + x + 1) + 2010(x2 + x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) 	(0,5đ)
= (x2 + x + 1)(x4 + 2010 – x + 1) 	(0,5đ)
= (x2 + x + 1)(x4– x + 2011) 	(0,5đ)
Bài 3: (4 điểm)
a/ Cho a + b = 2 và a2 + b2 = 20. Tính giá trị của biểu thức M = a3 + b3
Từ a2 + b2 = 20 (a + b)2 – 2ab = 20 ab = -8(0,5đ)
M = a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)
 = 23 – 3.(-8).2 = 56	(0,5đ)
b/ Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức N = a4 + b4 + c4
Từ a2 + b2 + c2 = 14 
 (a2 + b2 + c2)2 = 196
 a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 	(0,5đ)
Ta lại cĩ: a + b + c = 0 (a + b + c)2 = 0
a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 0	(0,5đ)
 (ab + bc + ca) = -7 	(0,5đ)
 (ab + bc + ca)2 = 49
 a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) = 49	(0,5đ)
 a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49	(0,5đ)
Do đĩ N = a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = 196 – 2.49 = 98 (0,5đ)
Bài 4: (4 điểm)
- Hình vẽ 	(0,5đ)
- Do ABCD là hình thang cân và 
Suy ra và là các tam giác đều. 	(0,5đ)
- Chứng minh vuơng tại F 	(0,5đ)
- Xét vuơng tại F cĩ: 	(0,5đ)
- Chứng minh vuơng tại E	(0,5đ)
- Xét vuơng tại E cĩ: 	(0,5đ)
- Xét cĩ: 	(0,5đ)
- Suy ra EF = EG = FG nên đều	(0,5đ)
Bài 5: (4 điểm)
a/
- Hình vẽ: 	 (0,25đ)
- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, ta cĩ O là trung điểm của BD. (0,25đ)
- Chứng minh BEDF là hình bình hành (0,5đ)
- Cĩ O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF (0,5đ)
- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O. (0,5đ)
b/
- Xét ABD cĩ M là trọng tâm, nên (0,5đ)
- Xét BCD cĩ N là trọng tâm, nên (0,5đ)
- Mà OA = OC nên OM = ON (0,5đ)
- Tứ giác EMFN cĩ OM = ON và OE = OF nên là hình bình hành. (0,5đ)
Trên đây là những gợi ý đáp án và biểu điểm, Học sinh cĩ thể giải theo cách khác. Tùy vào bài làm cụ thể của học sinh, giám khảo cho điểm tương ứng.
------------------------------------------------------------------------------------------