Đề thi chọn học sinh giỏi vòng huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
NĂM HỌC: 2012 – 2013
 Môn thi: TOÁN LỚP 8 
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (3.5 điểm)	
Cho biểu thức 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < -1.
c) Với giá trị nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
Bài 2. (3.5 điểm)
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
 a2 + b2 +c2 < 2(ab + bc + ca)
b) Giải phương trình: 
Bài 3. (2 điểm)
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Bài 4. (3 điểm)
Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô	cùng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lúc 7 giờ, 8 giờ, 9 giờ với vận tốc theo thứ tự bằng 10 km/h, 30 km/h, 50 km/h. Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?
Bài 5. (4.0 điểm)
Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng BE//MD, từ đó suy ra .
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh rằng ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB cố định.
Bài 6. (4.0 điểm)
 	Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = a, . Một đường thẳng bất kì đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự tại M và N.
	a) Chứng minh rằng tích BM.DN có giá trị không đổi.
	b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo góc BKD.	
-------------------- Hết ------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI 
PHÒNG GD – ĐT TRÀ CÚ
VÒNG HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN LỚP 8
Bài
Đáp án
Điểm
1.a
(1.5đ)
ĐK: 
0.25
0.5
0.5
0.25
1.b
(1,0đ)
Với , ta có: A < -1
0.25
0.25
0.25
0.25
1.c
(1,0đ)
Ta có =
A nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên
0.25
 x là ước của 3
0.25
0.5
2.a
(1,5đ)
a, b, c là ba cạnh của một tam giác a < b+c, b < a+c, c < a+b
0.25
Suy ra: a2 < ab + ac
0.25
 b2 < ab + bc
0.25
 c2 < ac + bc
0.25
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên, ta có : 
a2+b2+c2 < ab+ac+ab+bc+ac+bc a2+b2+c2 < 2(ab + bc + ca)
0.5
2.b
(2.0đ)
Giải phương trình: (1)
Phân tích: 3y2 – 10y + 3 = (3y – 1)(y-3) ; 9y2 – 1 = (3y – 1)(3y + 1) 
ĐKXĐ: 
0.5
(1) 
0.5
 3y + 1 = 6y(y – 3) – 2(y - 3)(3y + 1)
0.5
 y = 1 (TMĐK)
0.25
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
0.25
3
(2.0đ)
= 
0.5
3
(2.0đ)
A đạt GTLN lớn nhất x2 – 2x+5 nhỏ nhất
0.5
Ta có: x2 – 2x + 5 = (x - 1)2 + 4 4
0.5
Dấu “=” xảy ra khi x = 1, khi đó 
0.25
Vậy khi x = 1
0.25
4
(3.0đ)
Gọi x(h) là số giờ kể từ lúc ô tô khởi hành đến khi ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy (x > 0)
0.5
Quãng đường người đi xe đạp đi được: (x+2).10 (km)
0.25
Quãng đường ô tô đi được: 50x (km) 
0.25
Quãng đường người đi xe máy đi được: (x+1).30 (km)
0.25
Ta có phương trình: 50x - (x+2).10 = (x+1).30 – 50x
0.5
Giải ra: (TMĐK)
0.5
Sau khi khởi hành giờ (= 50’) thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy 
0.25
Vậy đến 9 h 50’ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy
0.5
5.a
(1.0đ)
Xét tam giác ABC có: 
§ CMAB (Do AMCD là hv) (1)
0.25
§ (t/c đ.chéo hv)
BE//MD
0.25
 (Do MDAC) (2) 
0.25
Từ (1), (2) E là trực tâm ABC
AEBC
0.25
5.b
(2.0đ)
§Gọi O là giao điểm của AC và DM
Do (cm a) nên 
0.25
0.25
 có trung tuyến OH bằng nửa cạnh DM nên (3)
0.5
§Gọi O’ là giao điểm của BE và MF, C/m tương tự có 
0.25
 (4)
0.5
Từ (3) và (4) suy ra D,H,F thẳng hàng
0.25
5.c
(1.0đ)
Gọi I là giao điểm của DF và AC.
§Kẻ IKAB thì IK//AD//BF (5)
0.25
§DMF có: OI//MF (do )
 OD = OM (t/c đường chéo hv)
Nên I là trung điểm DF (6)
0.25
Từ (5), (6) suy ra K là trung điểm của AB 
5.c
(1.0đ)
Và 
0.25
Do đó I là điểm cố định (I nằm trên đường trung trực AB, cách AB một khoảng bằng) 
Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì DF luôn đi qua 1 điểm cố định.
0.25
6.a
(2.0đ)
Có BC//AD và AB//DC (t/c hình thoi)
0.25
Nên (Các cặp góc đv)
0.5
 (góc đồng vị)
0.5
Suy ra 
0.25
0.25
 (Không đổi)
0.25
6.b
(2.0đ)
§BCD đều (Do BC = CD và ) nên BD = DC = BC
0.25
Ta có: (cm a) 
0.25
Lại có (kề bù với các góc của tam giác đều ABD)
0.25
Suy ra 
0.25
0.25
§ có: (cmt) ; là góc chung
0.25
0.25
0.25
(Mọi cách giải khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ đều được hưởng trọn số điểm)