Đề thi chọn học sinh giỏi văn hoá cấp tỉnh môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề thi có 01 trang) 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH 
NĂM HỌC 2016-2017 
MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 
Ngày thi: 21/ 3 / 2017 
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1 (4,5 điểm) 
1) Tìm m để hàm số cos3 6 cos 2 21cos 2 8y x m x x m= + − + − đồng biến trên khoảng ( )0;pi . 
2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số ( )3 2 2( ) 3 2f x x m x m m= + − + + − có hai 
điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 2.
2
y x= − 
Câu 2 (4,5 điểm) 
1) Giải phương trình 3 2 3 2tan tan 4 tan cot cot 4cot 8.x x x x x x− + + − + = 
2) Giải phương trình ( ) ( )4 2 25 2log 7 3 log 7 4 ,x x x x+ − = + − ( )x ∈ℝ . 
3) Một nhóm học sinh gồm có 9 bạn nam, trong đó có bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh 
xếp vào 13 cái ghế trên một hàng ngang. Tính xác suất để giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn 
nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh nêu ở trên không ngồi cạnh nhau. 
Câu 3 (4,0 điểm) 
1) Giải phương trình 2 23 33 33 2 2 4 3 2 4 2,x x x x x x+ + + = + + + + +
( )x ∈ℝ . 
2) Tính tích phân ( )
4
2
0
log 2sin cos
1 cos 2
x x
I dx
x
pi
+
=
+∫ . 
Câu 4 (6,0 điểm) 
1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3 2 3 0x y− + − = và hai 
đường tròn ( ) 2 21 : 2 6 6 0C x y x y+ + − + = ; ( ) ( )222 : 3 1.C x y+ + = Viết phương trình đường tròn ( )C 
tiếp xúc với đường thẳng d , tiếp xúc ngoài với đường tròn ( )1C , đồng thời ( )C cắt ( )2C tại hai điểm 
,A B phân biệt mà AB d⊥ . 
2) Cho hình hộp đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D có đáy là hình thoi, 
 90oABC > . Góc giữa 'A C và mặt 
đáy ( )ABCD bằng 30o ; góc giữa hai mặt phẳng ( )'A BC và ( )ABCD bằng 45o ; khoảng cách từ điểm 
'C đến mặt phẳng ( )'A CD bằng .a Gọi E là trung điểm cạnh CD . Tính thể tích khối hộp đã cho và 
bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 'AA DE . 
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm (0;9;0)A , 
(4;3;25)M và cắt hai tia ,Ox Oz lần lượt tại hai điểm ,B C khác O sao cho OB OC+ nhỏ nhất. 
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số thực , ,x y z không âm đôi một phân biệt . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1P x y z
x y y z z x
 
= + + + + 
− − −  
. 
------ HẾT ------ 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 
Họ và tên thí sinh: .............................................................Số báo danh:.................................. 
Giám thị 1 (Họ tên và ký).......................................................................................................... 
Giám thị 2 (Họ tên và ký).......................................................................................................... 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
HDC ĐỀ CHÍNH THỨC 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH 
NGÀY THI 21/3/2017 
MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG 
(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) 
Câu Hướng dẫn giải Điểm 
Câu 1 4.5đ 
1.1. 
(2.5 
điểm) 
cos3 6 cos 2 21cos 2 8y x m x x m= + − + − 
( )
( )
3 2
3 2
4 cos 3 cos 6 2 cos 1 21cos 2 8
4 cos 3 cos 6 cos 2
x x m x x m
x m x x m
= − + − − + −
= + − − −
0. 5 
Đặt cost x= , hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )0;pi khi và chỉ khi hàm số 
( ) 3 23 6 2f t t mt t m= + − − − nghịch biến trên ( )1;1− 
0.5 
( ) ( )2 2' 3 6 6 3 2 2f t t mt t mt= + − = + − 
Hàm số ( ) 3 23 6 2f t t mt t m= + − − − nghịch biến trên ( )1;1− 
( )2 2 2 0, 1;1t mt t⇔ + − ≤ ∀ ∈ − 
0.5 
( )
( )
△
2 2 0
' 1 0
' 1 0
'
f
f
m + >⇔ − ≤
 ≤
=
 0.5 
1 2 0 1 1
.
1 2 0 2 2
m
m
m
− − ≤⇔ ⇔ − ≤ ≤
− + ≤
Kết luận. 
0.5 
1.2 
(2.0 
điểm) 
Ta có 2 2' 3 3.y x m= + − Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì 2 3 0 3.m m− < ⇔ < 0.5 
Giả sử 1 1 2 2( ; ), ( ; )A x y B x y là hai điểm cực trị. 
Tính được hệ số góc của đường thẳng AB là ( )21 2
1 2
( ) ( ) 2
3 .
3
f x f x
k m
x x
−
= = −
−
0.5 
Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 2
2
y x= − suy ra 
 ( )21 1. 1 3 1 0.
2 3
k m m= − ⇔ − = − ⇔ =
0.5 
Thử lại 0m = thỏa mãn. 0.5 
Câu 2 4.5đ 
2.1 
(1.5 
điểm) 
3 2 3 2tan tan 4 tan cot cot 4cot 8x x x x x x− + + − + = 
Điều kiện: sin .cos 0 ,
2
x x x k k
pi
≠ ⇔ ≠ ∈ℤ
Phương trình tương đương 
3 2(tan cot ) (tan cot ) (tan cot ) 6 0x x x x x x+ − + + + − = (1) 
0.5 
Đặt tan cot , | | 2t x x t= + ≥ , phương tình (1) trở thành 
3 2 6 0t t t− + − = 
0.5 
Giải được 2t = 
Suy ra 
4
tan cot 2 sin 2 1 kx x x x pi pi++ = ⇔ = ⇔ = (thỏa mãn). 
Vậy ,
4
x k k
pi
pi= + ∈ℤ
 là nghiệm của phương trình đã cho. 
0.5 
2.2 
(1.5 
điểm 
( ) ( )4 2 25 2log 7 3 log 7 4x x x x+ − = + − . 
Điều kiện: 
2
2
7 3 0
7 4 0
x x
x x
 + − >

+ − >
. 
Viết lại phương trình dưới dạng 
( ) ( )2 25 4log 7 3 log 7 4 (1)x x x x⇔ + − = + − 
0. 5 
Đặt 24log ( 7 4)y x x= + − . Từ phương trình (1) ta có hệ: 
2
2
7 4 4 4 14 1 5 1
5 57 3 5
y yy
y y
y
x x
x x
 + − =    
⇒ + = ⇔ + =    
+ − =    
 (2) 0.5 
Hàm số ( ) 4 1
5 5
y y
f y    = +   
   
 là hàm nghịch biến 
Do đó phương trình (2) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Nhận thấy y=1 là một nghiệm. 
Với 2 2
1
1 7 4 4 7 8 0
8
x
y x x x x
x
=
= ⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ 
= −
Vậy phương trình có nghiệm 8 à 1.x v x= − = 
0.5 
2.3 
(1.5 
điểm) 
13!Ω = 
Đánh số ghế trên hàng ngang theo thứ tự từ 1 đến 13. Các bạn nữ phải ngồi vào các ghế 
số 1,5,9,13. 
Gọi A là biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn 
Hải và bạn Minh không ngồi cạnh nhau”. 
0.25 
Xét các trường hợp 
- Bạn Minh ngồi ở ghế 1 
+ Số cách xếp 3 bạn nữ còn lại là 3!. 
+ Có 8 cách xếp vị trí của Hải . 
+ Có 8! cách xếp tám bạn nam vào các vị trí còn lại. 
Suy ra số cách xếp là 3!.8.8! 
- Bạn Minh ngồi ghế 13 cũng có số cách xếp là 3!.8.8! 
0.5 
- Bạn Minh ngồi ghế 5 (ghế 9 làm tương tự) 
Có 3! cách xếp 3 bạn nữ, có 7 cách xếp vị trí của Hải, có 8! cách xếp 8 bạn nam còn lại 
Suy ra số cách xếp là 3!.7.8! 
0.5 
3!.7.8! 3!.8.8 ! 3!2. 2. 2. !. 815
A
+ =Ω = 
( )
3!82.15. 1
13! 8
!
58
P A = = ⋅ 
0.25 
Câu 3 4đ 
3.1 
(2.0 
điểm) 
2 23 33 33 2 2 4 3 2 4 2x x x x x x+ + + = + + + + +
Đặt 3 23 2; 2 4 2u x v x x= + = + + 
Phương trình đã cho trở thành 3 3 3 31 1 .u u v v+ + = + + 
0. 5 
Xát hàm số 3 3( ) 1 .f t t t= + + Có 
( )
2
233
'( ) 1 0, 1.
1
tf t t
t
= + > ∀ ≠ −
+
 0. 5 
Suy ra hàm số ( )f t luôn đồng biến. Nên ( ) ( ) .f u f v u v= ⇔ = 0.5 
Ta có 3 2 23 32 2 4 2 2 3 0 0; .
2
x x x x x x x
−
+ = + + ⇔ + = ⇔ = = 
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm 30; .
2
x x
−
= = 
0.5 
3.2 
(2.0 
điểm) 
( ) ( )4 42
2
0 0
log 2sin cos ln 2sin cos1
1 cos 2 2ln 2 cos
x x x x
I dx dx
x x
pi pi
+ +
= =
+∫ ∫ 
0.5 
Đặt 
( )
2
ln 2 sin cos
1
cos
u x x
dv dx
x
 = +

 =
2 os sin
2 sin cos
1
tan
2
c x x
du dx
x x
v x
 − = +
⇒ 
 = +
2 os sin
2 sin cos
2 sin os
2 cos
c x x
du dx
x x
x c x
v
x
 − = +
⇒ 
 + =
0.5 
( )
4
4
0 0
4
0
1 1 2cos sin 2sin os
tan ln 2sin cos
2ln 2 2 2sin cos 2cos
1 3 3 2 sinln 1
2ln 2 2 2 2cos
x x x c xI x x x dx
x x x
x dx
x
pi
pi
pi
 
 
− + 
= + ⋅ + − ⋅   +  
 
 
  
= − −  
  
 
∫
∫
 0.5 
( ) 4
0
1 3 3 2 1ln ln cos
2ln 2 2 2 2
1 27ln
4ln 2 2 2
x x
pi 
  
= − +   
  
pi 
= − 
 
 0.5 
Câu 4 6đ 
4.1 
(2.0 
điểm) 
( )1C có tâm ( )1 1;3I − , bán kính 1 2R = ; ( )2C có tâm ( )2 0; 3I − , bán kính 2 1R = 
Khẳng định tâm I của đường tròn ( )C nằm trên đường thẳng l qua 2I và song song 
với d , l có phương trình 3 0.x y− − = 
0.5 
Tính được đường tròn ( )C có bán kính 3.R = 0.5 
Gọi ( )3;I t t l+ ∈ . Sử dụng 
1 1
5II R R= + = được 0t = hoặc 1.t = − 
( )3;0I hoặc ( )2; 1 .I − 
0.5 
Kiểm tra ( )C cắt ( )2C tại hai điểm phân biệt, ta có ( )2; 1 .I − 
KL: Đường tròn ( ) ( ) ( )2 2: 2 1 9.C x y− + + = 0.5 
4.2 
(2.0 
điểm) 
G
O E
B'
A'
A
C'
D
D'
CFB
I
J
H
Hạ AI BC⊥ suy ra góc ( ) ( )( )' ;A BC ABCD = góc( )' ,A I AI = 
' 45oA IA = (1) . 
Góc ( )( )' ;A C ABCD =
' 30oA CA = (2). 
Hạ AJ CD⊥ , 'AH A J⊥ . 
Khẳng định khoảng cách từ điểm 'C đến mặt phẳng ( )'A CD bằng .AH a= 
0.5 
Từ (1) suy ra ' .AI AA= Đáy ABCD là hình thoi nên .AJ AI= 
Xét tam giác vuông 'A AJ , từ AH a= được 2.AJ a= 
Đặt ( ), 0 .AB x x BC x= > ⇒ = Từ (2) suy ra 6.AC a= 
0.25 
Xét tam giác vuông 2 2: 2 .AIC IC AC AI a= − = 2 .IB IC BC a x= − = − 
Xét tam giác vuông 2 2 2:AIB AB AI IB= + ( ) ( )
2 22 32 2
2
a
x a a x x⇔ = + − ⇔ = ⋅ 
0.5 
{ }
3
2
a
AC BD O BO∩ = ⇒ = ; 
2
3
. ' ' ' '
3 2
3 .
2ABCD ABCD A B C D
a
S V a= ⇒ = 0.25 
Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và đường thẳng d qua F vuông 
góc với ( ).ABCD 
Mặt phẳng trung trực của 'AA cắt d tại G thì G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 'AA DE . 
0.25 
Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện 'AA DE là 2 2GA GF FA= + với 
2
a
GF = ⋅ 
Tính được 57
4
a
AE = ; 
2
3 3 57
. . 3 1142 4 4
4 323 2
2
ADE
a a a
ADDE AE a
FA
S a
⋅ ⋅
= = = ⋅ 
Vậy 
2
2 2
2 3 114 1538
2 2 32 32
a a a a
GA FA
  = + = + =   
0.25 
4.3 
(2.0 
điểm) 
Giả sử ( ;0;0), (0;0; )B a C b ( , 0a b > ). 
Phương trình mặt phằng (P)qua các điểm (0;9;0), ( ;0;0), (0;0; )A B a C b có dạng 
1.
9
x y z
a b
+ + = 
0.5 
Điểm M(4;3;25) (P)∈ nên 4 25 2 .
3a b
+ = Ta có .OB OC a b+ = + 0.5 
Mà ( )3 4 25 87 3 4 25 87 14730 .
2 2 2 2 2
b a
a b a b
a b a b
   
+ = + + = + + ≥ + =   
   
Dấu ‘=’ đạt được khi 10521; .
2
a b= = 
0.5 
Vậy phương trình mặt phẳng cần lập là 2 1.
21 9 105
x y z
+ + = 0.5 
Câu 5 1đ 
(1.0 
điểm) 
Không mất tính tổng quát, giả sử 0 .x y z≤ < < 
Đặt ;a y x b z y= − = − thì 0, 0.a b> > 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
22 2
22 2
22 2
2 2
22 2
1 1 1
2 2 (1)
P x x a x a b
a b a b
a ab b
a ab b
a b a b
 
   = + + + + + + +    + 
+ +
≥ + + ⋅
+
Đẳng thức xảy ra 0.x⇔ = 
0.25 
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
22 2
2 2
2 2
2 2 22 2
2 2 1 1
2 2
1
a a a a
a ab b b b b b
a ab b
a aa b a b
b b
   
   + + + +
   + +    + + ⋅ ≥
+
+
. 
Đặt 
2
, 0
a a
t t
b b
  = + >   
 thì 
( )( )
2
2
2 1 1
.
t t
P
t
+ +
≥ 
Xét hàm số ( )
( )( )
( )
2
2 2
2 1 1 4 1
2 t 5 , 0; .
t t t
f t t
t t
+ + +
= = + + ∈ +∞ 
0.25 
( )
( )3
3
2 2 1
' ;
t t
f t
t
− −
= ( )
1 5
' 0
2
f t t
+
= ⇔ = ⋅ 
Lập bảng biến thiên ta được ( )
1 5 11 5 5
2 2
f t f
 +  + ≥ = ⋅   
 Do đó 11 5 5
2
P
+
≥ ⋅ 
0.25 
Đẳng thức xảy ra khi 1 5
2
t
+
= ⋅ Suy ra 1 3 2 5
2
a
b
− + +
= ⋅ 
Kết hợp với (1), P nhỏ nhất khi 
0
1 3 2 5
2
x
y
z y
 = − + + = −
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 11 5 5
2
+
⋅ 
0.25 
20 điểm 
Lưu ý khi chấm bài: 
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. 
Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng. 
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần 
tương ứng.