Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 10 - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 05/4/2017
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I (2,0 điểm) 
	Cho hàm số , ( là tham số).
	1) Tìm giá trị của để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác vuông tại , trong đó .
	2) Tìm giá trị của để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.
Câu II (3,0 điểm)
	1) Giải hệ phương trình 
	2) Giải phương trình 
	3) Giải bất phương trình 
Câu III (3,0 điểm) 
	1) Cho hình bình hành . Gọi là trung điểm cạnh ; là điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là trọng tâm tam giác , đường thẳng cắt tại . Tính tỉ số .
	2) Cho tam giác không có góc vuông và có các cạnh . Chứng minh rằng nếu tam giácthỏa mãn và thì tam giác đều.
	3) Trong mặt phẳng tọa độ , cho cân tại và có diện tích bằng 10. Đường thẳng có phương trình. Điểm là trung điểm cạnh , điểm thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm biết điểm có tung độ là số nguyên. 
Câu IV (1,0 điểm)
	Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn. 
Câu V (1,0 điểm) 
	Cho các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
........................................ Hết ......................................
Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: .............................
Giám thị coi thi số 1: ............................................... Giám thị coi thi số 2: ....................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT – NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)
Câu
Nội dung
Điểm 
Câu I.1
1,0 đ
 Cho hàm số ( là tham số).
Tìm giá trị của để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt sao cho tam giác vuông tại , trong đó .
Phương trình hoành độ giao điểm (2)
0,25
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt .
0,25
Gọi các nghiệm của phương trình (2) là . 
Tọa độ các giao điểm là ; .
0,25
.
Kết hợp điều kiện , ta được , .
0,25
Câu I.2
1,0 đ
Tìm giá trị của để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.
.
0,25
.
0,25
Dấu xảy ra khi . Giá trị lớn nhất của hàm số là .
0,25
Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi .
0,25
CâuII.1
1,0 đ
 Giải hệ phương trình 
Điều kiện .
Chia hai vế của (1) cho ta có phương trình .
0,25
0,25
Ta có hệ 
0,25
.
0,25
CâuII.2
1,0 đ
 Giải phương trình 
Điều kiện . Với .
0,25
0,25
0,25
0,25
CâuII.3
1,0 đ
Giải bất phương trình (1)
0,25
Xét , thay vào bất phương trình (2) không thỏa mãn.
0,25
Xét , chia hai vế của (2) cho ta được bất phương trình 
Đặt , có bất phương trình .
0,25
0,25
Câu III.1
1,0 đ
Cho hình bình hành . Gọi là trung điểm cạnh ; là điểm thuộc cạnh sao cho . Gọi là trọng tâm tam giác , đường thẳng cắt tại . Tính tỉ số .
0,25
Đặt 
0,25
Ba điểm thẳng hàng nên 
0,25
0,25
Câu
III.2
1,0 đ
Cho tam giác không có góc vuông và có các cạnh . Chứng minh rằng nếu tam giácthỏa mãn và thì tam giác đều.
0,25
.
0,25
.
0,25
Kết hợp với . Vậy tam giác ABC đều.
0,25
Câu
III.3
1,0 đ
Trong mặt phẳng tọa độ , cho cân tại và có diện tích bằng 10. Đường thẳng có phương trình. Điểm là trung điểm cạnh , điểm thuộc đường thẳng . Tìm tọa độ các điểm biết điểm có tung độ là số nguyên.
; 
 Phương trình 
 .
0,25
0,25
Từ ( không thỏa mãn).
0,25
Từ .
0,25
Câu IV 1,0 đ
 Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.
Giả sử trồng cà rốt và khoai tây.
Điều kiện : và 
Số phân vi sinh cần dùng là : (tấn)
Ta có 
Số tiền thu được là  (triệu đồng).
0,25
Ta cần tìm thoả mãn:
 (I)
sao cho đạt giá trị lớn nhất.
0,25
Trên mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng 
Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại điểm .
Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm , cắt trục tung tại điểm .
Đường thẳng và cắt nhau tại điểm .
Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác .
0,25
 ; ; ; 
Vậy để thu được tổng số tiền lãi cao nhất thì nông trại trồng cà rốt và khoai tây.
0,25
Câu V 1,0 đ
Cho các số thực dương . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
. Đặt 
 Ta có với dương và .
0,25
0,25
Tương tự ; 
0,25
 Dấu xảy ra khi .
Vậy giá trị lớn nhất của là .
0,25
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.