Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 năm học 2015 - 2016 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN 
Thời gian làm bài: 90 phút
Mã đề 01
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Tìm số a, b trong sơ đồ sau: 
b
a
15
10
12
18
11
9
15
21
12
10
8
22
20
Câu 2: Trong hộp có 45 viên bi màu, gồm 20 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, và 10 bi màu vàng. Cần lấy ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên: 
Màu đỏ.
Cùng màu.
Câu 3: Giá trị của biểu thức: là bao nhiêu?
Câu 4. Gọi là nghiệm âm của phương trình Giá trị của biểu thức là bao nhiêu?
Câu 5. Tìm số nguyên biết là số chính phương.
Câu 6. Tìm nghiệm của phương trình .
Câu 7. Tìm nghiệm của hệ phương trình: .
Câu 8. Cho và với mọi . Tìm ? 
Câu 9. Giá trị nhỏ nhất của với là bao nhiêu?
Câu 10. Cho tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7. Đường phân giác trong của góc A và B cắt nhau tại O. Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại tại M, N. Tìm chu vi tam giác MNC. 
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và góc BAC bằng 600. Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.
Chứng minh tam giác INP đều.
Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Tính số đo của góc BCP.
Câu 12. Viết 5 số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng. Ta thực hiện phép thay thể các số theo quy luật sau: Ở mỗi bước, nếu có 2 số nào đó thỏa mãn thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên?
HẾT
Lưu ý: 	-Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi;
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN 
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề thi có 01 trang gồm 12 câu)
Mã đề 02
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)
Câu 1: Trong hộp có 55 viên bi màu gồm 30 bi màu đỏ, 15 bi màu xanh, và 10 bi màu vàng. Cần lấy ra ít nhất là bao nhiêu viên bi (mà không cần nhìn vào hộp) để chắc chắn có 3 viên: 
Màu đỏ.
Cùng màu.
Câu 2: Tìm số a, b trong sơ đồ sau: 
a
b
15
10
12
18
11
9
15
21
12
10
8
22
20
Câu 3: Giá trị của biểu thức: là bao nhiêu?
Câu 4. Tìm nghiệm của phương trình .
Câu 5. Tìm nghiệm của hệ phương trình: 
Câu 6. Gọi là nghiệm âm của phương trình Giá trị của biểu thức là bao nhiêu?
Câu 7. Cho và với mọi . Tìm ? 
Câu 8. Giá trị nhỏ nhất của với là bao nhiêu?
Câu 9. Tìm số nguyên biết là số chính phương.
Câu 10. Cho tam giác ABC biết độ dài 3 cạnh AB, BC, CA lần lượt là 7, 6, 7. Đường phân giác trong của góc A và B cắt nhau tại O. Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh còn lại tại M, N. Tìm chu vi tam giác MNC. 
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H và góc BAC bằng 600. Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC và I là trung điểm của BC.
Chứng minh tam giác INP đều.
Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Tính số đo của góc BCP.
Câu 12. Viết 5 số 1; 2; 3; 4; 5 lên bảng. Ta thực hiện phép thay thể các số theo quy luật sau: Ở mỗi bước, nếu có 2 số nào đó thỏa mãn thì ta xóa 2 số này và viết thêm vào 2 số Hỏi ta có thể thực hiện được tối đa bao nhiêu bước như trên?
Lưu ý: 	-Thí sinh bắt buộc phải ghi mã đề vào tờ giấy thi;
- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh.Số báo danh.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN
Hướng dẫn chấm
HƯỚNG DẪN CHẤM
Mã 01
Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
Đáp số: a=11; b=13.
Quy luật: Số nằm hằng trên bằng trung bình cộng của hai số nằm hàng kề dưới. 
Câu 2
Đáp số: 28 vì tổng số vàng và xanh là 25
Đáp số: 7 (theo nguyên lý Dirichle) 
Câu 3
Đáp số: 3 vì 4 phân số đó bằng nhau.
Câu 4
Đáp số: 2
Ta có nên
Câu 5
Đáp số: n=1; n=3
Câu 6
Đáp số: 
PT(2x+3)2 =(+2)2. Với x ta có 2x+3 > 0 nên 
Pt 2x+1 = 
Câu 7
Đáp số: (x;y) =(1;1); (;-2); (;);(;);
Cộng hai phương trình ta được: (2x-y)2 +(2x-y)-2=0
+) Với: 2x-y=1y=2x-1 thế vào ta được: x=1, x=
 +) với 2x-y=-2y=2x+2 thế vào ta được: x=
Câu 8
Đáp số 
Ta có 
Do đó 
Suy ra 
Câu 9
Đáp số: 9/4.
Ta có 
, có ‘’=’’ khi a=1
Câu 10
Đáp số: 13
Ta có: 
Suy ra 
Câu 11a
Do IP=IN =BC/2 tam giác IPN cân tại I
B
A
M
N
C
P
I
K
 1800 – 2 
 = 1800 – 2 
=1800 – (3600 – 
 - 2(+) ) 
 =1800-1200=600
 Vậy tam giác IPN đều
Câu 11b
IA là một phân giác góc , do tam giác IPN đều dẫn đến IA vuông góc với PN và IA cắt PN tại trung điểm K.
Suy ra AK là đường cao và là đường trung tuyến của tam giác APN, dẫn đến tam giác APN là tam giác cân tại A. Suy ra AK là phân giác góc 
Từ đó tam giác ABC cân tại A, kết hợp với góc = 600 nên tam giác ABC đều. Vậy =300.
Câu 12
Đáp số: 5.
Nhận thấy tổng các số sau mỗi bước là không đổi và bằng 15 và là tổng bình phương các số sau khi thực hiện ở bước giảm xuống (do ). 
Do vậy quá trình quá trình sẽ dừng lại ở bước thứ với là số bước tối đa có thể thực hiện được. Ở bước cuối cùng, còn lại số bằng và số bằng với Ta có nên , suy ra ở bước sau cùng các số hạng bằng nhau và bằng 3.
Do đó Ta có nên 
Với ta có cách biến đổi như sau: 
(12345)->(22245)->(22335)->(22344)->(23334)->(33333).
--------- HẾT ---------