Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 THPT năm học 2016 - 2017 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu I ( 2,0 điểm)
	1. Cho hàm số , với là tham số thực. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
	2. Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt hai đường tiệm cận tại A và B sao cho IA = IB. 
Câu II ( 2,0 điểm)
	1. Giải phương trình: 
	2. Giải hệ phương trình: 
Câu III (2,0 điểm)
1. Tìm hệ số của trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức: 
2. Cho dãy số (un) được xác định bởi: với mọi (a,b là số thực). Tìm giới hạn của dãy số (un) theo a và b.
Câu IV (3,0 điểm)
	1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của OC. Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
	2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng 2, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng . Tìm giá trị của cos để thể tích khối chóp S.ABCD nhỏ nhất.
3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD’, điểm N thuộc đoạn BD sao cho . Tìm theo a để đoạn MN ngắn nhất.
Câu V (1,0 điểm)
 	Cho a,b,c là các số thực dương và a.b.c=1, thỏa mãn: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
..Hết..
Họ và tên thí sinh:......................................................Số báo danh:.................
Chữ ký của giám thị 1:............................Chữ ký của giám thị 2:.......................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN
HƯỚNG DẪN CHẤM
Hướng dẫn chấm gồm 4 trang
Lưu ý: Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
Câu
Nội dung
Điểm
Câu I (2 điểm)
Câu I.1
(1điểm)
Ta có: 
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi (*)
0.25
Các điểm cực trị của đồ thị là 
 và 
Suy ra và 
0.25
Ta có nên tam giác ABC vuông cân khi và chỉ khi 
0.25
. Kết hợp với ta được m=0
0.25
Câu I.2
(1.điểm)
Gọi , hệ số góc của tiếp tuyến tại M là 
0.25
Tam giác AIB vuông cân tại I nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1
0.25
Vì nên k = 1 
0.25
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến:;
0.25
Câu II (2 điểm)
Câu II.1
(1điểm)
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu II.2
(1 điểm)
Điều kiện: 
 (*)
0.25
Nếu không thỏa mãn hệ
Nếu 
0.25
Mặt khác với điều kiện thì nên (**) vô nghiệm.Với thì PT(2) trở thành
0.25
Vậy hệ có nghiệm là 
0.25
Câu III (2 điểm)
Câu III.1
(1 điểm)
Xét 
Số hạng tổng quát: .
0.25
Số hạng trên chứa khi và chỉ khi .
Vậy hệ số của trong khai triển của E là: .
0.25
Xét .
 Số hạng tổng quát: .
Số hạng trên chứa khi và chỉ khi .
Vậy hệ số của trong khai triển của G là: .
0.25
Vậy hệ số của trong khai triển là: .
0.25
Câu III.2
(1 điểm)
Đặt với mọi . Khi đó 
0.25
Từ (1) Þ Þ (vn) là CSN có công bội . .
0.25
Ta có: 
0.25
Vì nên .
0.25
Câu IV (3 điểm)
Câu IV.1
(1điểm)
Kẻ HK ^ AB (K Î AB) Þ AB ^ (SHK) Þ 
0.25
HK // BC Þ 
0.25
Tam giác SHK vuông tại H Þ 
0.25
0.25
Câu IV.2
(1điểm)
Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu IV.3
(1điểm)
Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M, N lên AD
Ta có 
0.25
Tam giác M’AM vuông cân tại M’ nên có ; 
Tam giác N’DN vuông cân tại N’ nên có 
0.25
Khi đó 
0.25
Vậy MN ngắn nhất bằng đạt được khi 
0.25
Câu V
(1điểm)
Theo BĐT Cô–si ta có:
Đặt t=a.b>0 
0.25
Với ta chứng minh (*)
Thật vậy: 
 (đúng)
0.25
Xét 
0.25
Từ đó nghịch biến trên 
Dấu “=” xảy ra khi 
0.25
*********** Hết***********