Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh KonTum lớp 10 THPT năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
KonTum
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
Giải bất phương trình: 
Câu 2 (2 điểm)
Giải phương trình: 
 Giải phương trình: 
Câu 3 (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm . Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A(hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B(tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C): và điểm . Đường thẳng qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3 điểm)
Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi .
Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: (trong đó AB=c; AC=b; đường cao qua A là ).
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương . Chứng minh rằng:
Hết.
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1:.Chữ ký của giám thị 2:
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
Tìm m: và cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ dương
1,00
Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm dương phân biệt
0,25
0,25
0,25
Kết hợp nghiệm, kết luận 
0,25
b
Giải bất phương trình: 
1,00
TXĐ: 
0,25
Nếu thì , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x: 
0,25
Nếu bất pt đã cho
0,25
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 
Tập nghiệm của bpt đã cho: 
0,25
2
a
Giải phương trình: (1)
1,00
Đặt . (1) có dạng: Khi đó nghiệm của (1) là x ứng với (x;y) là nghiệm của (I)
0,25
(I)
0,25
 TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm của (1): 
0,25
TH2: . Nếu có nghiệm thì . Tương tự cũng có. Khi đó VT (2) . Chứng tỏ TH2 vô nghiệm. KL (1) có 1 nghiệm 
0,25
b
Giải phương trình: 
1,00
ĐK: . 
0,25
(*)
0,25
Do nên pt(*)
0,25
. Vậy pt đã cho có 1 nghiệm x=3
0,25
3
a
. Đg thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A; d cắt trục tung tại B. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB()
1,00
Giả sử A(a;0); B(0;b), a>0; b>0. PT đường thẳng AB:
0,25
Vì AB qua M nên
0,25
0,25
Diện tích tam giác vuông OAB( vuông ở O)là S. Vậy S nhỏ nhất bằng 8 khi d qua A(2;0), B(0;8)
0,25
b
(C): ;. qua A, cắt (C) tại M và N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
1,0
 (C) có tâm I(2;-3), bán kính R=3. Có A nằm trong đường tròn(C) vì 
0,25
Kẻ IH vuông góc với MN tại H ta có 
0,25
Mà
0,25
Vậy MN nhỏ nhất bằng khi H trùng A hay MN vuông góc với IA tại A
0,25
4
a
Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 
1,5
Tứ giác lồi ABCD là hình bình hành 
0,25
0,25
(*)
( vì )
0,25
0,25
0,25
(*)(Đpcm)
( Chú ý: nếu chỉ làm được 1 chiều thì cho 0,75 đ)
0,25
4
b
Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: (1) 
1,5
Có 
0,25
0,25
(1)
0,25
0,25
0,25
Vậy tam giác ABC vuông ở A hoặc có 
0,25
5
1,00
XétM=
0,25
0,25
Vì ; 
0,25
Làm hoàn toàn tương tự với hai biểu thức còn lại
Suy ra M (Đpcm); “=” 
0,25
Hình vẽ câu 3b:
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.