Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hải Dương lớp 10 THPT năm học 2012 – 2013 môn thi: Toán

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2,5 điểm)
	a) Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng AB đến các trục tọa độ bằng nhau.
	b) Giải bất phương trình: 
Câu 2 (2,5 điểm)
	a) Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có . Đường thẳng là đường phân giác trong của góc A có phương trình ; Khoảng cách từ C đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
b) Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng 
Câu 3 (2,5 điểm)
	a) Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn: . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
	b) Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M sao cho biểu thức () đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4 (2,5 điểm)
	a) Giải phương trình: 
b) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
.
Hết.
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1:.Chữ ký của giám thị 2:
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
Cho hàm số và hàm số . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm của đoạn thẳng AB cách đều các trục tọa độ.
1,25
Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm phân biệt
 hay (*)có m>1
0,25
Gọi là 2 nghiệm của (*), I là trung điểm AB ta có ; 
0,25
Yêu cầu bài toán 
0,25
0,25
Kết hợp ĐK, kết luận 
0,25
b
Giải bất phương trình: (1)
1,25
TXĐ: 
0,25
(1)
Nếu thì , bất phương trình nghiệm đúng với mọi x: 
0,25
Nếu 
bất pt đã cho
0,25
0,25
Kết hợp nghiệm, trường hợp này ta có: 
Tập nghiệm của bpt đã cho: 
0,25
2
a
Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC có . Đường thẳng là đường phân giác trong của góc A có phương trình ; khoảng cách từ C đến gấp 3 lần khoảng cách từ B đến . Tìm tọa độ của A và C biết C nằm trên trục tung.
1,25
D(B;)=; C(0:y0) ; D(C;)=, theo bài ra ta có 
0,25
 Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, chú ý C khác phía B đối với suy ra C(0;-8)
0,25
Gọi B’(a;b) là điểm đối xứng với B qua thì B’nằm trên AC.
 Do nên ta có: ;
Trung điểm I của BB’ phải thuộc nên có: 
Từ đó ta có: a= -7/5; b=4/5
0,25
Theo định lý Ta - Let suy ra 
0,25
Từ đó suy ra ;C(0;-8)
0,25
b
Xét các tam giác vuông ABC vuông ở A, gọi là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của tam giác. Chứng minh rằng 
1,25
Gọi a, b và c tương ứng là độ dài các cạnh đối diện các góc A, B và C của tam giác. Có 
0,25
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có 
=; Do đó 
0,25
Có 
0,25
Do đó 
0,25
Hay . Dấu bằng có khi tam giác vuông cân đỉnh A
0,25
3
a
Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các . Tìm vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
1,25
Vì 
Giả sử 
0,25
Mà nên 
0,25
Vì B, K, E thẳng hàng(B) nên có m sao cho 
Do đó có: 
Hay 
0,25
0,25
Do không cùng phương nên
 Từ đó suy ra 
Vậy 
0,25
3
b
Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c. 
Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: ; Tìm điểm M: biểu thức đạt giá trị lớn nhất.
1,25
Kẻ đường cao AH, ta có nên 
. Do đó:
0,25
Suy ra 
0,25
Kết hợp giả thiết suy ra hay 
Do đó điểm I thỏa mãn gt là I thỏa mãn A là trung điểm IH
0,25
Với x, y, z tùy ý thỏa mãn:(*) bình phương vô hướng 2 vế (*), chú ý rằng ta có:
Từ đó có 
0,25
Mặt khác 
Tương tự cho yMB2; zMC2 rồi cộng các đẳng thức đó lại ta có
Thay số có: 
Dấu bằng xảy ra khi M trùng I
0,25
4
a
 Giải phương trình: (*) 
1,25
ĐK: 
0,25
(*)
0,25
0,25
Giải(a) và đối chiếu ĐK có 1 nghiệm 
0,25
Giải (b) vô nghiệm. Kết luận (*) có 1 nghiệm 
0,25
b
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
(I)
1,25
Giả thiết suy ra: . Ta Có: 
0,25
Viết hai BĐT tương tự rồi cộng lại ta được:
0,25
Ta sẽ CM:
0,25
Điều này luông đúng
Dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z
0,25
Vậy (I) được CM, dấu bằng có khi và chỉ khi x=y=z=
0,25
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.