Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 12 THPT năm học 2014-2015 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HÀ TĨNH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT 
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.
(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)
Câu 1. a. Giải phương trình . 
 b. Giải hệ phương trình .
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hàm số có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B phân biệt thoả mãn: .
Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thoả mãn và góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 600.
Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SI.
Câu 4. Cho các số thực . Chứng minh rằng: 
.
 Câu 5. Cho các số thực dương thỏa mãn:. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức .
_____________ Hết _____________
 - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
 - Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ......................................................Số báo danh:...................................
Chữ ký giám thị 1 ..Chữ ký giám thị 2....................
Lời giải
Câu
NỘI DUNG
1a)
ĐK: 
(1) 
Đối chiếu đk ta có: 
1b)
Điều kiện (*)
Từ phương trình (2) ta có: (3) 
 Với thay vào (3) ta có: (không thoả mãn (1))
 Với thay vào (3) thoả mãn, 
Thay vào (1) ta có: (4)
Để pt (4) có nghiệm thì , lúc đó 
Đặt ta có hệ 
Ta lại có và 
Do đó hay 
Có “=” khi hay .
ĐS: Hệ có nghiệm ()
Lưu ý (3) 
Xét hàm số với 
Ta có với suy ra hàm số đồng biến trên .
Từ (3) ta có .
2)
Giả sử có điểm M thoả mãn yêu cầu bài toán, lúc đó tam giác OAB vuông tại O.
.
Vì A, B phân biệt nên O,A, B phân biệt suy ra 
Hệ số góc của tiếp tuyến là (1)
Gọi ta có (2)
Từ (1) và (2) ta tìm được 
Với suy ra phương trình tiếp tuyến là: , lúc đó A,B trùng với O, loại.
Với suy ra phương trình tiếp tuyến là: +4, lúc đó A,B phân biệt.
ĐS: 
3a)
Lấy điểm D sao cho ABCD là hình bình hành, từ giả thiết ta có ABCD là hình vuông cạnh a, tâm I và H là trọng tâm tam giác ADC.
Do đó 
Gọi K là hình chiếu của I lên SB, ta có 
 suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng góc hoặc bù với góc 
Do đó hoặc 
 Vì nên suy ra 
Nếu thì AKC là tam giác đều, mà AK < AB < AC suy ra vô lý.
Nếu 
(đvtt)
3b
Kẻ đường thẳng qua I và song song với AB cắt AD,BC tại M, N
Ta có: 
Gọi P,T lần lượt là hình chiếu của H lên MN, của H lên SP, ta có 
Ta có 
suy ra .
4
Cách 1:
Đặt 
Vì nên 
Cách 2: 
 (1)
Đặt 
 (1) 
BĐT cuối cùng đúng, do đó có đpcm
5
Ta có 
 (*)
Sử dụng (*) ta có: 
 = 
Ta có 
=
suy ra 
Từ giả thiết ta có 
Do đó là nghiệm của phương trình bậc 2: (*)
Vì > 0 nên (*) có hai nghiệm dương 
Đặt t = x(y+z) + yz = x(6-x) + 
Xem t là một hàm số ẩn trên .
Ta có t'(x) = 0 x=1 hoặc x= 1+.
Lại có t(1) = t(4) = 9 và t(1+) = t(4-2)=6 
t= 9 chẳng hạn khi ;
t= chẳng hạn khi ; 
Ta có 
 suy ra hàm số đồng biến trên 
Do đó . 
Suy ra GTLN của F là ; GTNN của F là .
HẾT