Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố Quy Nhơn môn Toán lớp 9 – Năm học 2006 – 2007

 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................1 
PHÒNG GIÁO DỤC TP. QUY NHƠN 
=== === 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ QUY NHƠN 
 MÔN TOÁN LỚP 9 – NĂM HỌC 2006 – 2007 
 Ngày 18 – 01 – 2007 – Thời gian 150 phút (không thể thời gian phát đề) 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
I.Phần trắc nghiệm (6 điểm) Học sinh đánh dấu x vào ô vuông của câu đúng nhất. 
Câu 1. Cho x < - 2. Giá trị của 1 1 x− + là: 
 a. o 2 + x b. o - 2 – x c. o x d. o - x 
 e. o - 2 
Câu 2. Điều kiện để xảy ra 
a b c d
b c d a
+ +
=
+ +
 là: 
 a. o a phải bằng c b. o a + b + c + d phải bằng 0 c. o a = c hoặc a + b + c + d = 0 
 d. a + b + c + d ≠ 0 nếu a = c e. o a(b + c + d) = c (a + b + d) 
Câu 3. Đường chéo hình lập phương là a. Diện tích toàn phần của hình lập phương là: 
 a. o 2a2 b. o 2 2 a2 c. o 2 3 a2 d. o 6a2 
 e. o a2 
Câu 4. Tính giá trị biểu thức 
 3 2 2 3 2 2+ − − 
 a. o 1 b. o 2 c. o 2 d. o 2 2 
 e. o 
1
2
Câu 5. Cạnh của hình vuông này là đường chéo của hình vuông kia. Tỉ số diện tích giữa chúng là bao nhiêu? 
 a. o 2 b. o 3
3
 c. o 4 d. 
3
2
 e. o 2 
Câu 6. Tìm m để ba đường thẳng sau đồng quy: 
 d1: 2x + 3y + 1 = 0 
 d2: 3x – y – 4 = 0 
 d3: (m – 2)x – my – 3 = 0 
 a. o 2 b. o 
5
2
 c. o 
5
2
− d. o 0 
 e. o - 2 
II. Phần tự luận (14 điểm) 
Câu 1. (2 điểm) 
 Cho a + b + c = 0 
 Chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
a b c b c a c a b
+ +
+ − + − + −
 = 0 
Câu 2. (2 điểm) 
 Tính tổng: 
 A = 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 2006 2007
+ + + + + + + + +⋯ 
Câu 3. (2 điểm) 
 Tìm hai chữ số cuối cùng của n = 72007 
Câu 4. (2 điểm) 
 Phân tích thành nhân tử: 
 x3(y – z) + y3(z- x) + z3(x – y) 
 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................2 
Câu 5. (4 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn, trung tuyến AI. Về phía ngoài ∆ABC, vẽ các tam giác ABE, ACF vuông cân 
tại A. 
a) Chứng minh : AI ⊥ EF, AI = 1
2
EF 
b) Qua A kẻ một đường thẳng cắt BC tại M. Tìm vị trí của M để tổng các khoảng cách từ B và C đến 
đường thẳng đó là lớn nhất. 
Câu 6. (2 điểm) 
Cho đường tròn (O) và các dây d1, d2, d3 song song và cùng nằm một phía đối với tâm O. Biết 
khoảng cách giữa d1 và d2 bằng khoảng cách giữa d2 và d3. 
Tìm bán kính của đường tròn (O) biết d1 = 20, d2 = 16, d3 = 8. 
 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................3 
GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TP. QUY NHƠN 
MÔN TOÁN 9 – NĂM HỌC 2006 – 2007 
Ngày 18 – 01 – 2007 – Thời gian 150 phút 
I. Phần trắc nghiệm ( 6 điểm) 
II. Tự l uận (14 điểm) 
Câu 1 (2đ) 
 Chứng minh 
A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
a b c b c a c a b
+ +
+ − + − + −
 = 0 
Biến đổi: 
A = 2 2 2 2 2 2
1 1 1
(a b) c 2ab (b c) a 2bc (c a) b 2ca
+ +
+ − − + − − + − −
= ( )
1 1 1
(a b c)(a b c) 2ab (b c a )(b c a) 2bc c a b)(c a b 2ca
+ +
+ + + − − + + + − − + + + − −
= 
1 1 1 a b c
0
2ab 2bc 2ca 2abc
+ +
+ + = =
− − − −
( vì a + b + c = 0) 
Câu 2 (2đ) 
 Xét số hạng tổng quát của tổng: 
2 2 2 2 4 3 2
2 2 2 2 2 2
1 1 n (n 1) (n 1) n n 2n 3n 2n 11
n (n 1) n (n 1) n (n 1)
+ + + + + + + +
+ + = =
+ + +
 = 
( )
2 2 2
2 2
(n n 1) n n 1 1 1 1
1 1
n n 1 n(n 1) n n 1n (n 1)
 + + + +
= = + = + − 
+ + ++  
 (*) 
Cho n lấy 2006 giá trị từ 1 đến 2006 thay vào biểu thức (*) rồi cộng vế theo vế, ta có: 
A = 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 2006 2007
+ + + + + + + + +⋯ 
 = 
2006
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 2006 2007
   
 + + + + − + − + + −     
⋯ ⋯

 = 2006 + 
1 1 2006 2006.2008
2006
1 2007 2007 2007
 
− = + = 
 
Câu 3 (2đ) 
 Ta có 74 = 2401 ⇒ (74)5001 = 72004 ≡ 015001 (mod 100) ≡ 01 (mod 100) 
 Do đó 
 n = 72007 = 73.72004 ≡ 73.01 (mod 100) ≡ 343. 01 (mod 100) ≡ 43 (mod 100) 
 Vậy n = 72007 có hai chữ số cuối cùng là 43. 
Câu 4 (2đ) 
 Biến đổi: 
 A = x3(y – z) + y3(z- x) + z3(x – y) 
Câu 1 2 3 4 5 6 
Trả lời b c a c a b 
 GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ........................................ Bùi Văn Chi.....................................................................4 
 = z3(x – y) + x3y – x3z + y3z – xy3 = z3(x – y) + xy(x2 – y2) – z(x3 – y3) 
 = (x – y)[z3 +x2y + xy2 – x2z – y2z – xyz] = (x – y)[(z3 – zy2) + (x2y – x2z) + xy2 – xyz] 
 = (x – y)(y – z)(x2 – xz +xy – yz) = (x – y(y – z)(x – z)(x + y + z). 
âu 5 (4đ) 
 a) • C hứng minh EF = 2AI 
 Kéo dài AI một đoạn ID = AI. 
 Ta có ABDC là hình bình hành ⇒ BD = AC. 
 Ta có:   ABD EAF (cùng bù BAC)= 
 Suy ra ∆ABD = ∆EAF (c.g.c) 
⇒ AD = EF ⇔ EF = 2AI 
 • Chứng minh AI ⊥ EF 
 Gọi H = AI ∩ EF 
 Ta có:      0 01 2 2 1 1 1A A 90 , A E A E 90+ = = ⇒ + = 
 Do đó ∆EAH vuông tại H. 
 Vậy AI ⊥ EF. 
 b) Vị trí của M ∈ BC để tổng (BP + CQ) đạt max 
 Ta có: 
 BP ≤ BM 
 CQ ≤ CM 
 Cộng vế: BP + CQ ≤ BM + CM = BC 
 Vậy tổng (BP + CQ) đạt max = BC khi P ≡ M ≡ Q 
 ⇒ AM ⊥ BC. 
Câu 6 (2đ) 
Tính bán kính R 
 Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với các dây AA’, BB’, CC' tại M, N, P. 
 Ta có MN = NP ⇔ ON – OM = OP – ON ⇔ 2ON = OM + OP (1) 
Theo định lý Py-ta-go ta có: 
 OM = 2 2 2OA AM R 100− = − 
 ON = 2 2 2OB BN R 64− = − 
 OP = 2 2 2OC CP R 16− = − 
 Thay các biểu thức trên vào (1): 
 2 2 22 R 64 R 100 R 16− = − + − 
 ⇔ 4(R2 – 64) = 2R2 + 116 + 2 2 2(R 100)(R 16)− − 
 ⇔ 4 2 22 R 116R 1600 2R 140− + = − 
 ⇔ R4 – 116R2 + 1600 = (R2 – 70)2 
 ⇔ 24R2 = 3300 ⇔ R = 3300
24
= 275 5 22
2 2
= . 
A
B
C
O
M
N
P
A’
B’
C’
R
10 10
8 8
4 4
A
F
H
E
CB M
D
1
2
1
A
B
P
Q
CM