Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố lớp 9 - Năm học 2015 - 2016 môn: Toán

MÃ KÝ HIỆU
[*****]
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu 01 trang)
Câu 1. (2 điểm) 
1.1. Rút gọn biểu thức sau : P = 
1.2. Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn và . 
Chứng minh rằng .
Câu 2. (2 điểm)
2.1. Cho phương trình (ẩn x): có hai nghiệm x1 ; x2 . 
Tìm m sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
2.2. Giải hệ phương trình : 
Câu 3. (2 điểm)
3.1. Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. 
3.2. Chứng minh rằng :
Câu 4. (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại H (H nằm giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E.
	1. Chứng minh rằng AHEK là tứ giác nội tiếp và DCAE đồng dạng với DCHK.
	2. Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh DNFK cân.
	3. Giả sử KE = KC. Chứng minh: OK//MN và KM2 + KN2 = 4R2.
Câu 5. (1 điểm)
Sau một bữa tiệc, mỗi người bắt tay một lần với mỗi người khác trong phòng. Hệ thống camera tự động đếm thấy có tất cả 66 cái bắt tay. 
Hỏi trong phòng có bao nhiêu người?
-------------------Hết-----------------
MÃ KÝ HIỆU
[*****]
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015-2016
MÔN: TOAN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Hướng dẫn chấm gồm 04trang)
Chú ý: 
	- Thí sinh làm bài theo cách khác thì cho điểm vẫn cho điểm tối đa
	- Điểm bài thi 10
Câu
Đáp án
Điểm
1
(2 điểm)
1.1 (1điểm)
Có : A = 
 A = 
Tương tự có: 
B = 
Từ đó Tập xác định là x và 
Ta có P = A+B = 
	= 
= 
	= 
Vậy P = Với x và x 
0,25
0,25
0,25
0,25
1.2 (1điểm) 
 và 
 hay . Do đó
. Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
(2 điểm)
2.1 (1điểm)
Phương trình có 2 nghiệm hoặc 
0,25
Theo hệ thức Vi-ét ta có : 
Ta có: 
0,25
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi m = 3 > 
0,25
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là khi m = 3.
Ghi chú: Nếu thí sinh không tìm được ĐK : m hoặc m nhưng có thế m = 3 vào biểu thức = 4 > 0 thỏa mãn điều kiện có nghiệm thì vẫn không bị trừ điểm.
0,25
2.2 (1điểm) 
+ Hiển nhiên hệ có nghiệm là x = y = z = 0.	
+ Với xyz 0 thì (I) được viết lại: (II) Cộng ba phương trình của hệ (II) theo vế ta được:
	 (*)	
Trừ phương trình (*) cho từng phương trình của hệ (II) theo vế ta lần lượt có : x = 1, y = 2, z = 3.
 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (0; 0; 0) và (1; 2; 3).	
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2 điểm)
3.1 (1điểm)
Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m N)
Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 
Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác m + n + m – n = 2m
 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2)
Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn
 (m + n)(m - n) 4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4
 Điều giả sử sai. 
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương.
0,25
0,25
0,25
0,25
3.2 (1điểm)
Ta có với n ³ 1 thì
 < Từ đó ta có :
Sn = 
< 1- 
= 1- 
Vậy Sn < 
Áp dụng cho n = 2007
 ta có S2007 < là điều phải chứng minh 
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3 điểm)
4.1 (1điểm)
Ta có: 	+ (theo giả thiết ) 	
	 	+ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
0,25
	 H, K thuộc đường tròn đường kính AE.
 Vậy tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.
0,25
Xét hai tam giác CAE và CHK: 
	+ Có chung góc C	
	+ (góc nội tiếp cùng chắn cung EK)
 Suy ra CAE CHK (g - g)
0,5
4.2 (1điểm)
Do đường kính AB MN nên B là điểm chính giữa cung suy ra ta có
0,25
Lại có BK // NF (vì cùng vuông góc với AC) nên 
0,25
Từ (1), (2), (3) suy ra . 
Vậy KNF cân tại K.
0,5
4.3 (1điểm)
* Ta có vuông tại K 
Theo giả thiết ta lại có KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K
Mặt khác vì OBK cân tại O ( do OB = OK = R) nên suy ra OBK vuông cân tại O dẫn đến OK // MN (cùng vuông góc với AB)
0,25
0,25
* Gọi P là giao điểm của tia KO với đường tròn thì ta có KP là đường kính và KP // MN. Ta có tứ giác KPMN là hình thang cân nên KN = MP. 
Xét tam giác KMP vuông ở M ta có: 
 MP2 + MK2 = KP2 
 KN2 + KM2 = 4R2.
0,25
0,25
5
(1 điểm)
Gọi số người trong phòng cần tìm là n (người) thì mỗi người sẽ bắt tay với n-1 người còn lại. Mỗi “Cái bắt tay” phải có 2 người với nhau ( 2 lần )
Như vậy n người sẽ có n(n-1) lần bắt tay. Và số “Cái bắt tay” là 
 A = 
Thay A = 66 và giải pt bậc 2 ta tìm được n = 12 (người) 
0,25
0,25
0,5
-------------------Hết-----------------
Lưu kiếm, ngày 16 tháng 1 năm 2016
Người ra đề Người thẩm định BGH nhà trường
(ký, ghi rõ họ tên) (ký, ghi rõ họ tên) (ký tên, đóng dấu)