Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Trịnh Thị Lan

Phòng GD-Đông Sơn
Trường THCS Đông Thanh
Giáo Viên: TRịnh Thị Lan
Đề thi tuyển học sinh giỏi tỉnh năm học 2005-2006
Môn thi : Toán- Thơi gian làm bài: 150 phút
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a;bsao cho là số nguyên.
Bài 2: Cho x0 và = a là hằng số. Tính theo a cho các biểu thức sau:
A = ; B = ; C = 
Bài 3: Giải hệ phương trình: 
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức:
Bài 5: Cho phương trình: x4 + 2(a+1)x2 - 3a = 0. Xác định a để phương trình có 4 nghiệm x1;x2;x3;x4 thoả mãn : x4- x3 = x3 – x2 = x2 – x1.
Bài 6: cho parabol y = x2 . gọi A;B là các giao điểm của đường thẳng y = mx + 2 với parabol (m là tham số). Tìm các giá trị của m để đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất. Cho biết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm(x1;y1)và (x2;y2) là:
Bài 7: Cho cân (AB = AC). Lấy D trên cạnh BC (D khác B,C). gọi r1;r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp , . Xác định vị trí của D để tích r1.r2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 8: Cho điểm I ở bên trong hình vuông ABCD tâm 0 . Gọi A/ là hình chiếu của A trên BI; C/ là hình chiếu của C trên DI. Gọi K là giao điểm của A A/ và CC/.
a, Chứng minh rằng KOI là tam giác vuông cân.
b, Gọi B/ là hình chiếu của B trên CI. Chứng minh rằng BB/ cũng đi qua K.
------------------*****-------------------
Đáp án
Câu
(Điểm)
Hướng dẩn giải
Điểm
1
Xét a=1 Thấy không có cặp số nguyên dương(a,b) nào thoả mãn đề bài do đó phải có a2
Để là số nguyên suy ra:
 a2-2(ab+2)b(a2-2)(ab+2)
 ab2-2b+2a-2a (ab+2)
 a(ab+2)-2(a+b) (ab+2)
 2(a+b) (ab+2)
 2(a+b) = k(ab+2) (k)
* Nếu k=1 ta có:
 2(a=b)=ab+2 (a-2)(b-2)=2
Do a-2 0 và b-2 0 nên chỉ sảy ra:
 a = 3 Hoặc a = 4
 b = 4 b = 3
thử lại thấy chỉ có a = 4 và b = 3 là thoả mãn đề bài.
* Nếu k 2 Ta có: 2(a+b)=k(ab+2) 2(ab+2)
a + b ab + 2 (a-1)(b-1)+1 0
Điều này không sảy ra.
Vậy chỉ có cặp số (a;b) = (4;3) thoả mãn đề bài
0,25
0,75
0,5
0,5
2
2điểm
Dễ dàng chứng minh được khi n >1 ta có:
)
Cho n=2 
Với 
Ta được: A= a3 – 3a
B = 
C= 
0,5
0,5
0,5
0,5
3
2 điểm
điều kiện x;y;z 
nhân mỗi vế của mỗi phương trình với 2 rồi cộng lại ta có:
4x+4y+4z=2+2+2
chuyển vế ta được:
 (-1)2+(-1)2+(-)2=0
 -1= 0 x =
 -1= 0 y= Thoả mãn điều kiện
 -1=0 z=
Vậy hệ có nghiệm duy nhất(x;y;z)=(;;)
0,25
0,75
0,75
0,25
4
3 điểm
 = 
Với z = 
Vì x2 >0 với mọi x GTLN (z) đạt được khi tử dương và
 GTNN (z) đạt được khi tử âm.
Xét:
* =0 x = thì z = 0 y =1
* > 0 x > thì GTLN(y) =1+GTLN(z)
từ (2x2+1)+1 > 0
Từ đó z = 
Đẳng thức sảy ra khi x= lúc đó GTLN (y)=5
* < 0 x< xét tương tự trên, từ:
x2+1=(x2+2)-1 - =-()>0
có z Đẳng thức sảy ra khi x=- lúc đó GTNN(y) = 1+ GTNN(z)=-1
0,5
0,5
1
1
5
2 điểm
Nhận xét:Nếu phương trình trùng phương có 4 nghiệm: x1;x2;x3;x4 thì x1+x2+x3+x4=0
Theo giả thiết x4+x2=2x3 và x1+x3=2x2
 x1+x2+x3+x4=2(x2+x3)=0 x2+x3= 0
 x2=-x3
 x4=3x3
Đặt x2=t 0 ta có phương trình: t2+2(2a+1)t-3a=0 (1)
vì x4=3x3 x42=9x23
Bài toán đưa về xác định a để phương trình (1) có hai nghiệm t1;t2 mà t2=9t1 (t10)
Theo Viet ta có: t1+t2=-2(2a+1) và t1.t2 =- 3a
Thay t2=9t1 đưa về phương trình ẩn a ta có
 12a2+37a+3 = 0
 (12a+1)(a+3) = 0
 Chỉ có a=-3 là thoả mãn
0,5
0,5
0,5
0,5
6
2 điểm
Gọi toạ độ của A và B theo thứ tự là (x1;y1) và (x2;y2) các điểm A;B thuộc Parabol y = x2 nên: y1=x12 ; y2=x22
Ta có: AB2= (x1-x2)2+(y2-y1)2
Do A;B là giao điểm của Parabol y=x2 và đường thẳng 
y = mx + 2 . nên x1;x2 là nghiệm của phương trình x2=mx + 2
Tức là x2-mx-2=0
Giả sử x1<x2 thì : y
 B
Khi đó x2-x1= 2
 A
 x2+x1=m 0 2 x
 y1-y2=x22-x12=m 
Suy ra : AB2=(m2+8)+m2(m2+8)
 =(m2+8)(m2+1)
 =m4+9m2+88
do đó Min AB = m = 0
0,5
0,5
0,5
0,5
7
3 điểm
Gọi 0 là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.
01 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADB
02 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADC
dễ thấy o1 0B ; 02 0C vì r1>0 và r2>0 .áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: r1.r2 Dấu đẳng thức sảy ra khi r1=r2
Khi đó 01KB = 02NC => BK=CN
 =>BH=CM
Từ đó AH=AM Vậy AH01= AM02
Nên A01=A02 kẻ 01I vuông góc với AD; 02J vuông góc với AD dễ thấy I trùng với J và 01I = 02J từ đó KD = DN
Vậy D là trung điểm của BC thì tích r1.r2 đạt giá trị lớn nhất(lúc đó A;0;D thẳng hàng)
 A
 H 0 M
 01 J 02
 B K D N C
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
8
4 điểm
a, Hình vuông 0ABA/ nội tiếp => 0AK = 0BA/(cùng chắn cung 0A/)
Hình vuông 0DCC/ nội tiếp => 0DI =0KC (cùng chắn cung 0C/)
=>KAC = 0AK (g.c.g) 
=> trung tuýên 0K và 0I bằng nhau
=>0IB = 0KA( c.g.c) => 0BI = 0KA
 Mà IAK= 900 =>IOK = 900
b, Trong phép quay R+.(0;900) 
C -> B; I-> K do đó IC vuông góc với BK Vậy BB/ đi qua K.
 A B
 0 A/ K
 C/ 
 I B/ 
 C D
0,5
0,5
0,5
1
0,5
1