Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 - Đề 28

ĐỀ 29
Bài 1 (1 điểm): 
 a) Chứng minh rằng: Tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48.
	b) Cho số nguyên lẻ n. Chứng minh số A = chia hết cho 48. 
Bài 2 (1,5 điểm):
 Chứng minh M = 
Bài 3 (1 điểm):
 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Bài 4 (1,5 điểm):
 Cho đa thức A = 
 a) Chứng minh đa thức A - 16 với mọi x
 b) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
Bài 5 (1 điểm):
 Giải hệ phương trình : 
Bài 6 (1 điểm):	
 Cho hình vuông ABCD. M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. I là giao
 điểm của CM với DN. Chứng minh rằng AI = AD.
Bài 7 (3 điểm):
 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, dây MN vuông góc với AB tại I sao 
 cho IA < IB. Trên đoạn MI lấy điểm E . Tia AE cắt đường tròn (O)
 tại điểm thứ hai là K.
Chứng minh bốn điểm I, E, K, B cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm 
của đường tròn này. 	
Chứng minh AE.AK + BI.BA = 4R2 
Xác định vị trí điểm I sao cho chu vi tam giác MIO đạt giá trị lớn nhất.
-------------------HẾT-------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN
MÔN: TOÁN 9
NĂM HỌC: 2010 – 2011 
BÀI
NỘI DUNG
ĐIỂM
Bài 1
(1 đ)
Tích ba số chẵn liên tiếp có dạng 
2n(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2) 
n(n + 1)(n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6. Vậy 8n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 48
 0,5 đ
A = (n + 3)(n – 1)(n +1).
Vì n lẻ, suy ra n = 2a + 1 
 A = 8a (a + 1)(a + 2)
 Theo kết quả câu a) suy ra A chia hết cho 48 
 0,5 đ
Bài 2
(1,5 đ)
 M2 = = = 
 = 
 1 đ
 0,5 đ
Bài 3
(1 đ)
 Đặt y = x2 + x + 1
 Q = y(y + 1) – 12 
 Q = y2 + y – 12 = y2 + 4y – 3y – 12 = y(y + 4) – 3(y + 4) =
 = (y + 4)(y – 3)
Thay y = x2 + x + 1, ta được : Q = 
 = 
0,75đ
 0,25đ
Bài 4
(1,5 đ)
 A = 
 a) ) 
 với mọi x
b) Từ trên suy ra GTLN của A là – 16 và khi đó giá trị của x là – 2 
0,75 đ
0,25 đ
 0,5 đ
Bài 5
( 1 đ)
 Cộng từng vế hai phương trình ta có : x2 + y2 – 4y – 6x = - 13 
 thỏa hệ trên
 1 đ
Bài 6
( 1đ )
 (c.g.c)
 Lập luận suy ra được 
 CM cắt DA ở E
 (g.c.g)
 Suy ra AE = BC = AD
 Xét tam giác vuông DIE có AI là
 trung tuyến ứng với cạnh huyền DE
 Suy ra AI = AD 
 1 đ
Bài 7
( 3 đ)
Ta có 
Suy ra I, E, K , B cùng thuộc một đường tròn đường kính EB.
Vậy tâm của đường tròn là trung điểm của EB
0,75đ
0,25đ
Ta có 
 Mặt khác có BI.BA = BM2 
Đặt P là chu vi , ta có:
P = MO + MI + IO = R + MI + IO
Áp dụng bất đẳng thức , ta được:
Do đó P
Dấu “=” xảy ra khi MI = IO = 
Suy ra và 
 1 đ
----------------------HẾT---------------------
Ghi chú:
	- Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó.
	- Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số.