Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD & ĐT Lai Vung (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN LAI VUNG 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
NĂM HỌC 2014 – 2015 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
(Đề thi gồm 02 trang) 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi: 31/05/2015 
Câu 1. (3,0 điểm) 
Cho phân thức sau: A = 
2
3 2
2 5 2
2 9 12 4
x x
x x x
 
  
1. Tìm tập xác định của biểu thức A. 
2. Rút gọn biểu thức A. 
3. Tính giá trị của A biết 2 1 3x   . 
Câu 2.(4,5 điểm) 
1. Cho a3 + b3 + c3= 3abc. Tính giá trị biểu thức A = (1 )(1 )(1 )
a b c
b c a
   . 
2. Cho B = 2 2 15 26.5 8n n n   với n N . Chứng minh B chia hết cho 59 
với mọi n. 
3. Cho hai số dương ,x y thoả mãn 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 2 2
2 2
1 1
( )( )C x y
y x
   . 
Câu 3. (4,5 điểm) 
 1. Giải phương trình sau: 5 4 3 2 2x x x x x     . 
 2. Chứng minh rằng: P =
12
11
......
5
1
4
1
3
1
3333

n
. 
3. Trên quãng đường AB dài 60km, một người đi xe đạp từ A đến B rồi 
quay trở lại A. Sau khi đi từ B được một giờ, người đó nghỉ lại 20 phút. Để thời 
gian đi từ B về A không nhiều hơn thời gian đi từ A đến B, người đó phải đi với 
vận tốc tăng hơn trước 4km/h trên quãng đường còn lại. Hỏi vận tốc lúc đi có 
thể là bao nhiêu? 
Câu 4. (4,0 điểm) 
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm. 
1. Tính tổng 
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
 
2. Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM; IN thứ tự là phân giác của 
góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM. 
3. Tìm điều kiện của tam giác ABC để biểu thức 222
2
'CC'BB'AA
)CABCAB(


đạt 
giá trị nhỏ nhất? 
Câu 5. (4,0 điểm) 
Cho tam giác cân ABC (AB=AC) và M là trung điểm của cạnh đáy BC. 
Một điểm D thay đổi trên cạnh AB. Trên cạnh AC lấy một điểm E sao cho 
BD
MB
CE
2
 . Chứng minh rằng: 
1. Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE. 
2. DM là phân giác của góc BDE. 
3. Khoảng cách từ M đến ED không đổi khi D thay đổi trên AB. 
--- HẾT --- 
Họ và tên thí sinh:.......................................... Số báo danh:............................. 
Chữ ký của giám thị 1:...................... Chữ ký của giám thị 2:............................ 
Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HUYỆN LAI VUNG 
(Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) 
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
NĂM HỌC 2014 – 2015 
MÔN: TOÁN 
I. Hướng dẫn chung: 
1. Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng, 
chính xác, chặt chẽ thì cho đủ số điểm của câu đó. 
2. Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm 
bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện 
trong tổ chấm. 
II. Đáp án và thang điểm: 
Câu Đáp án Điểm 
Câu 
1 
1 
A = 
41292
252
23
2


xxx
xx
Ta có: 2x3 + 9x2 + 12x + 4 = (x + 2)2(2x + 1) 
Để phân thức A xác định thì: (x + 2)2(2x + 1) 0 
  x 2 và x 
2
1
 
0,5 
0,25 
0,25 
2 
 A = 
41292
252
23
2


xxx
xx
 = 
)12()2(
)12)(2(
2 

xx
xx
 = 
x 2
1

với x 2 và x 
2
1
 
0,5 
0,5 
3 
 Ta có 312 x
2 1 3 1
2 1 3 2
x x
x x
   
       
x = 1 (nhận) ; x = -2 (loại) 
Với x=1 thì A = 
3
1
0,5 
0,25 
0,25 
Câu 
2 
1 
 a3 + b3 + c3= 3abc 
0a b c
a b c
  
   
* Nếu a + b + c = 0 thì A= -1 
* Nếu a = b = c thì A=8 
0,5 
0,25 
0,25 
Câu Đáp án Điểm 
2 
 B = 2 2 15 26.5 8n n n   
25.5 26.5 8.64n n nB    
59.5 8.64 8.5n n nB    
59.5 8(64 5 )n n nB    
Do (64 5 ) (64 5)n n  . Vậy B chia hết cho 59 
0,25 
 0,25 
 0,25 
 0,25 
3 
 C = 
2 2
2 2
1 1
x y
y x
  
   
  
= 
4 4 2 2
2 2
2 1x y x y
x y
 
 =
2
1
xy
xy
 
 
 
 Ta có: 
1 1 1 1
2 . 2.
16 16 4 2
xy xy
xy xy
    (1) 
1 1 1
4
2 2 4
x y
xy xy
xy

      
1 4 1 15 15
16 16 4 16 16xy xy
     (2) 
 Từ (1) và (2) 
1 1 15 1 15 17
16 16 2 4 4
xy xy
xy xy xy
   
          
   
Do đó: C = 
2 2
1 17 289
4 16
xy
xy
   
     
  
Dấu “=” xảy ra 
1 1
1
16 4
2
xy xy
xy x y
x yx y
   
     
   
(Vì x, y > 0) 
Vậy min C = 
289
16
 tại x = y = 
1
2
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 
3 
1 
5 4 3 2 2x x x x x     
5 4 4 3 3 2 22 2 2 2 2 0x x x x x x x x x           
4 3 2( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 0x x x x x x x x x           
4 3 2( 2)( 1) 0x x x x x       
0,25 
0,25 
Câu Đáp án Điểm 
2
2 2 2( 2) ( ) ( 1) 0
2 2 2
x x x
x x
 
       
  
2
2 2 2( ) 0;( 1) 0; 0
2 2 2
x x x
Vì x      
và chúng không đồng thời bằng 0 nên 
0
2
)1
2
()
2
(
2
222 
xxx
x 
Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm là x = 2. 
0,25 
0,25 
2 
Chứng minh P =
12
11
......
5
1
4
1
3
1
3333

n
Ta có: 
3 3
1 1 1
n( 1)( 1)n nn n n
 
 
3
1 1 ( 1) ( 1)
.
2 n( 1)( 1)
n n
n nn
  
 
 
3
1 1 1 1
2 ( 1) ( 1)n n n nn
 
     
1 1 1 1 1 1
...
2 2.3 3.4 3.4 ( 1) ( 1)
P
n n n n
 
         
1 1 1
2 6 ( 1)
P
n n
 
    
Do n>5 nên 
1 1 1
6 ( 1) 6n n
 

. Vậy P < 
12
1
 0,25 
 0,25 
 0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
3 
Gọi x là vận tốc lúc đi là x(km/h) (x>0) 
Theo đề bài ta có: 
xx
x 60
4
60
3
1
1 


 
2 16 720 0
( 36)( 20) 0
x x
x x
   
   
Vì 36 0x   nên 20 0x   
20x  
Vậy vận tốc lúc đi có thể lớn hơn 0 và bé hơn bằng 20 
0,25 
0,5 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Câu 
4 
1 
Ta có: 
'AA
'HA
BC'.AA.
2
1
BC'.HA.
2
1
S
S
ABC
HBC 
0,25 
B
A
C
I
B’
H
N
x
A’
C’
M
D 
Câu Đáp án Điểm 
Tương tự: 
'CC
'HC
S
S
ABC
HAB  ; 
'BB
'HB
S
S
ABC
HAC  
 Do đó: 1
S
S
S
S
S
S
'CC
'HC
'BB
'HB
'AA
'HA
ABC
HAC
ABC
HAB
ABC
HBC  
0,25 
0,25 
0,25 
2 
 Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, 
AIC: 
 Ta có: 
AI
IC
MA
CM
;
BI
AI
NB
AN
;
AC
AB
IC
BI
 
Suy ra: 
AM.IC.BNCM.AN.BI
1
BI
IC
.
AC
AB
AI
IC
.
BI
AI
.
AC
AB
MA
CM
.
NB
AN
.
IC
BI


0,5 
0,25 
0,25 
3 
 Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx 
- Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 
2CC’ 
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD 
- BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 
  AB2 + AD2  (BC+CD)2 
 AB2 + 4CC’2  (BC+AC)2 
 4CC’2  (BC+AC)2 – AB2 
Tương tự: 4AA’2  (AB+AC)2 – BC2 
 4BB’2  (AB+BC)2 – AC2 
- Chứng minh được : 
 4(AA’2 + BB’2 + CC’2)  (AB+BC+AC)2 
 4
'CC'BB'AA
)CABCAB(
222
2



Đẳng thức xảy ra  BC = AC, AC = AB, AB = BC 
 AB = AC =BC  ABC đều 
 * Kết luận đúng 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
5 
1 
Từ giả thiết: CE = 
BD
MB2
BD
MB
MB
CE
 
Ta lại có: MB = MC nên 
BD
MC
MB
CE
 
Lại có CB ˆˆ  nên suy ra 
MCEDBM  ~ 
0,5 
0,5 
2 
Vì MCEDBM  ~ nên BDMEMCCEMDMB ˆˆ;ˆˆ  suy ra 
CBEMI ˆˆˆ  
0,5 

I
H
MB
C
A
E
D
Câu Đáp án Điểm 
Xét hai tam giác DEM và DBM có 
 EMIB ˆˆ  
DM
BD
ME
BM
 ( cùng bằng 
ME
CM
) 
Nên MCEDMEDBM  ~~ 
Từ DMEDBM  ~ suy ra EDMMDB ˆˆ  
0,5 
0,5 
3 
Từ MCEDME  ~ suy ra MECMED ˆˆ  ME là phân giác 
của góc DEH 
Vì M nằm trên phân giác của góc E nên MI = MH, mà MH 
không đổi nên MI không đổi. 
*Chứng minh MH không đổi: 
Ta có ~MHC AMB  
.MCMH MA MA
MH
MC AB MB
    
Do M, A, B, C cố định nên MH cố định. 
0,5 
0,5 
0,5 
--- HẾT ---