Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 8

Đề thi chọn học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 8
Thời gian làm bài : 120 phút
Câu 1 : (2 điểm) 
Cho P=
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
 	P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải phương trình : 
b) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
 A = 
Câu 4 : (3 điểm)
 	Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh :
a) BD.CE=
b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
đáp án đề thi học sinh giỏi
môn thi : toán lớp 8
Câu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
 =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5
 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) 
 =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
 Nêu ĐKXĐ : a 0,25 
 Rút gọn P= 0,25
b) (0,5đ) P= ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3,
 mà Ư(3)= 0,25
 Từ đó tìm được a 0,25
Câu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 .	 0,25
 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=
 =(a+b)	 0,5	
 Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
 Do vậy (a+b) chia hết cho 9	 0,25
b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 	 0,5
 Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 	 0,25
 Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
 Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36	 0,25
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;	 0,25
 ĐKXĐ : 	 0,25
 Phương trình trở thành : 
 	 0,25
	18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	(x+13)(x-2)=0
 Từ đó tìm được x=-13; x=2;	 0,25
b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 
 Từ đó suy ra a= ;	 0,5
 Thay vào ta được A= 0,25
 Từ đó suy ra A hay A	 0,25
Câu 4 : (3 đ)
a) (1đ)	
 Trong tam giác BDM ta có : 
 Vì =600 nên ta có : 
 Suy ra 
 Chứng minh ∾ (1) 	 0,5
 Suy ra , từ đó BD.CE=BM.CM
 Vì BM=CM=, nên ta có BD.CE= 	 0,5
b) (1đ) Từ (1) suy ra mà BM=CM nên ta có 
 Chứng minh ∾ 	 0,5
 Từ đó suy ra , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
 Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 	 0,5
c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
 Chứng minh DH = DI, EI = EK 	 0,5
 Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 	 0,5
Câu 5 : (1đ)
 Gọi các cạnh của tam giác vuông là x, y, z ; trong đó cạnh huyền là z
 (x, y, z là các số nguyên dương )
 Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)	 0,25
 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy, thay (1) vào ta có :
 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
	z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
	z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
	(z+2)2=(x+y-2)2, suy ra z+2 = x+y-2	 0,25
	z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
	xy=2(x+y+x+y-4)
	xy-4x-4y=-8
	(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4	 0,25
 Từ đó ta tìm được các giá trị của x, y, z là :
 (x=5,y=12,z=13); (x=12,y=5,z=13) ; 
 (x=6,y=8,z=10); (x=8,y=6,z=10)	 0,25